Aufgaben

1.5. Aufgaben

Aufgabe: DGL höherer Ordnung

Gegeben sei folgende gewöhnliche Differentialgleichung 4.~Ordnung:

\[x^{(4)}(t) = 7 x^{(3)}(t) - \dot x(t) + 5 x(t) + t^2\]

Überführen Sie diese in ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1.Ordnung.

Aufgabe: Autonome gewöhnliche Differentialgleichungen

Entscheiden und begründen Sie mathematisch, ob die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen autonom sind.

a) Differentialgleichung für harmonischen Oszillator:

\[\ddot x(t) + \lambda x(t) = 0\]

für eine Konstante \(\lambda \in \mathbb{R}\).

b) Newtonsche Kraftgleichung:

\[m \ddot x(t) = F(t, x(t))\]

für eine Konstante \(m > 0\), eine Kraft \(F: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\), welche von der Position im Raum \(x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3\) und der Zeit \(t \in \mathbb{R}\) abhängt.

c) Newtonsche Kraftgleichung:

\[m \ddot x(t) = F(t, x(t))\]

für eine Konstante \(m > 0\), eine Kraft \(F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\), welche im Gegensatz zur Situation in b) lediglich von der Position im Raum \(x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3\) abhängt.

d) Mathieusche Differentialgleichung:

\[\ddot x(t) + [\lambda + \gamma \cos(t)] ~ x(t) = 0\]

für Konstanten \(\lambda, \gamma \in \mathbb{R}\).

Flüsse

Für \(I = \mathbb{R}^0_+\) und \(U = \mathbb{R}^2\) betrachten wir die Abbildung \(\phi: I \times U \rightarrow U\) mit

\[\begin{split}\phi(t, x) = \begin{pmatrix} \frac{x_2}{2} ~ \sin(\omega t) + x_1 ~ \cos(\omega t) \\ x_2 ~ \cos(\omega t) - 2 x_1 ~ \sin(\omega t) \end{pmatrix}, \end{split}\]

wobei \(x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\) gilt. Zeigen Sie, dass diese Abbildung die mathematischen Eigenschaften eines Flusses erfüllt.

Phasenporträt gedämpfter Oszillator

Wir betrachten die Bewegungsgleichung für den harmonischen Oszillator

\[m ~ \ddot x(t) + r ~ \dot x(t) + k ~ x(t) = 0\]

mit Masse \(m = 1 ~ kg\), Dämpfungskonstante \(r = 0.5 ~ \frac{kg}{s}\) und Federkonstante \(k = 1.5 ~ \frac{kg}{s^2}\).

Wie in Beispiel 1.3 im Skript führen wir den Impuls \(p(t) = m ~ \dot x(t)\) ein und erhalten das Differentialgleichungssystem erster Ordnung

\[\begin{split}\dot x(t) &= \frac{1}{m} ~ p(t)\\ \dot p(t) &= -k ~ x(t) - \frac{r}{m} ~ p(t).\end{split}\]

Zeichnen Sie händisch ein Phasenporträt für dieses System in den Unbekannten \(x\) und \(p\), indem Sie für die folgenden Punkte \((x,p)\) die durch das Differentialsystem gegebene Steigung berechnen und einzeichnen:

\[\begin{split}&(-1, 0) \quad (1, 0) \quad (0, -1) \quad (0, 1)\\ &(-0.75, -0.75) \quad (-0.75, 0.75) \quad (0.75, -0.75) \quad (0.75, 0.75)\end{split}\]

Aufgabe: Eigenschaften Hamilton-Funktion

Beweisen Sie die folgende Aussage:

Sei \(P \subseteq \mathbb{R}^{2m}\) ein (offener) Phasenraum und \(\mathbb{J} = \begin{pmatrix} 0 & - 𝟙 \\ 𝟙 & 0 \end{pmatrix} \in Mat(2m, \mathbb{R})\). Ist die Hamilton-Funktion \(H \in C^2(P, \mathbb{R})\), dann ist sie entlang der Lösungskurven der Hamiltonschen Differentialgleichung \(\dot x = \mathbb{J} \nabla H(x)\) konstant.

Aufgabe: Hamilton-Funktion

Zeigen Sie mathematisch, dass die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators gegeben ist durch:

\[H(x,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{m}{2} w^2 x^2,\]

wobei \(w = \sqrt{\frac{k}{m}}\) gilt.

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1.4. Hamiltonsche Differentialgleichungen

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2. Stabilitätsanalyse für dynamische Systeme