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Holomorphe Funktionen

7.2. Holomorphe Funktionen

Wir betrachten im Folgenden komplexe Funktionen \(f:\C\to\C\). Der Begriff der Stetigkeit wird durch die Metrik induziert. Das Konzept der Differenzierbarkeit führt auf den zentralen Begriff der Funktionentheorie, sogenannte holomorphen Funktionen.

Definition 7.1 (Holomorphe Funktion)

Sei \(U \subset \C\) eine offene Teilmenge, eine Funktion \(f:U\to\C\) heißt komplex differenzierbar in \(p\in\C\), falls der Grenzwert

\[f'(p) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h}\]

existiert. Ist \(f\) komplex differenzierbar für alle \(p\in U\) so nennen wir \(f\) holomorph.

Remark 7.1

Beachte, dass im obigen Grenzwert \(h\in\C\) gilt, der Limes existiert also, falls für eine beliebige Folge \(h_k\in\C,k\in\N\) mit \(\abs{h_k}\to 0\) gilt, dass

\[\lim_{k\to\infty} \frac{f(p+h_k) - f(p)}{h_k} = f'(p).\]

Dies ist äquivalent dazu, dass für eine beliebige Folge \(z_k\in\C,k\in\N\) mit \(\abs{z_k-p}\to 0\) gilt, dass

\[\lim_{k\to\infty} \frac{f(z_k) - f(p)}{z_k - p} = f'(p).\]

7.2.1. Eigenschaften holomorpher Funktionen

Eine sehr nützliche Eigenschaft komplex differenzierbarer Funktionen liefert das folgende Lemma.

Lemma 7.1

Sei \(U \subset \C\) eine offene Teilmenge, die Funktion \(f:U\to\C\) ist genau dann komplex differenzierbar in \(p\in U\), falls eine in \(p\) stetige Funktion \(h:U\to\C\) existiert, s.d.

\[f(z) = f(p) + h(z)\cdot (z-p)\quad\forall z\in U.\]

Weiterhin gilt in diesem Fall \(h(p) = f^\prime(p)\).

Proof. Es sei \(f\) komplex differenzierbar in \(p\), dann definieren wir die Funktion

\[\begin{split}h(z):= \begin{cases} \frac{f(z) - f(p)}{z-p}\text{ falls }z\neq p\\ f^\prime(p)\text{ sonst.} \end{cases}\end{split}\]

Da \(f\) komplex differenzierbar in \(p\) ist existiert der Grenzwert

\[\lim_{z\to p} \frac{f(z) - f(p)}{z-p}\]

und ist gleich \(f^\prime(p)\) und daher ist \(h\) stetig in \(p\). Weiterhin gilt

\[h(z)\cdot (z-p) = f(z) - f(p)\quad\forall z\in U\]

und daher die Behauptung.

Für die andere Richtung sei \(h\) eine in \(p\) stetige Funktion s.d.

\[f(z) = f(p) + h(z)\cdot (z-p)\quad\forall z\in U.\]

Dann gilt

\[\lim_{z\to p} \frac{f(z) - f(p)}{z-p} = \lim_{z\to p} h(z) = h(p)\]

wobei der Grenzwert existiert, da \(h\) stetig in \(p\) ist. Somit ist \(f\) komplex differenzierbar in \(p\).

Mithilfe des obigen Lemmas können wir sofort folgern, dass holomorphe Funktionen stetig sind.

Lemma 7.2

Es sei \(U\subset\C\) offen und \(f:U\to\C\) sei komplex differenzierbar in \(p\in U\), dann folgt \(f\) ist stetig in \(p\).

Proof. Die Funktion \(f\) sei komplex differenzierbar in \(p\), dann existiert nach Lemma 7.1 eine in \(p\) stetige Funktion \(h\), s.d.,

\[f(z) = f(p) + h(z)\cdot(z-p)\quad \forall z\in U.\]

Die Polynome \(z\mapsto f(p), z\mapsto (z-p)\) sind jeweils stetig in \(p\), Addition und Multiplikation stetiger Funktionen erhält Stetigkeit und somit ist \(f\) stetig in \(p\).

Wir betrachten nun noch Ableitungsregeln, welche versichern, dass wir für die komplexe Ableitung die gewohnten Rechenregeln benutzten dürfen.

Lemma 7.3 (Komplexe Ableitungsregeln)

Es sei \(U\subset\C\) offen und \(f,g:U\to\C\) zwei holomorphe Funktionen, dann gilt

  • \(f+g\) ist holomorph, mit \((f+g)^\prime = f^\prime + g^\prime\),

  • \(f\cdot g\) ist holomorph, mit \((f\cdot g)^\prime = f^\prime g+ f g^\prime\).

Weiterhin seien \(f:U\to V, g:V\to C\) zwei holomorphe Funktionen mit \(V\subset\C\) offen, dann gilt

  • \(g\circ f\) ist holomorph mit \((g\circ f)^\prime = (g^\prime \circ f)\, f^\prime\).

Zusätzlich gilt

  • \(\frac{1}{f}: U\setminus f^{-1}(0)\to \C\) ist holomorph, mit \((\frac{1}{f})^\prime = \frac{f^\prime}{f^2}\).

Proof. ToDo

7.2.2. Die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen

Da die komplexen Zahlen auch einen zweidimensionalen reellen Vektorraum bilden, stellt sich die Frage wie komplexe Differenzierbarkeit mit der bekannten totalen Differenzierbarkeit im \(\R^n\) zusammenhängt.

Definition 7.2

Es sei \(U\subset\R^n\) offen, eine Funktion \(F:U\to\R^m\) heißt total differenzierbar in \(a\in U\), falls ein reell lineares Funktional \(df(a):\R^n\to\R^m\) existiert, s.d.,

\[\lim_{x\to a} \frac{\abs{f(x)-f(a) - df(a)(x-a)}}{\abs{x-a}} = 0.\]

Im Falle von totaler Differenzierbarkeit, wissen wir, dass \(F\) in alle Richtung partiell differenzierbar ist, und dass das Differential \(df(a)\) durch die Jacobi-Matrix am Punkt \(a\) gegeben ist. Falls \(F\) andererseits in alle Richtungen stetig partiell differenzierbar ist, so ist es auch total Differenzierbar.

Sei nun \(f:\C\to\C\) eine komplexe Funktion wobei wir mit \(u:=\Re(f),v:=\Im(f)\) jeweils der Real- und Imaginärteil von \(f\) sind. Dann ist ist \(f\) natürlicherweise auch eine Funktion \(f:\R^2\to\R^2\), denn

\[\begin{split}f = u+iv = \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}.\end{split}\]

Somit können wir auch für \(f:\C\to\C\) den Begriff der totalen Differenzierbarkeit betrachten. Der folgende Satz setzt nun Holomorphie und Totale Differenzierbarkeit in Beziehung und führt auf natürliche Weise auf die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen.

Remark 7.2

Der konzeptionelle Unterschied zwischen totaler Differenzierbarkeit und Holomorphie ist, dass der Grenzwert in Definition 7.1 durch den Quotienten die komplexe Multiplikation benutzt, während wir bei totaler Differenzierbarkeit die Beträge von Vektoren betrachten. Allgemein unterscheidet sich \(\C\) als Körper nur durch die zusätzlich definierte komplexe Multiplikation vom reellen Vektorraum \(\R^2\). Genau diese komplexe Multiplikation die hier einfließt, führt dazu, dass der Begriff der Holomorphie nicht gleich dem der klassischen Differenzierbarkeit auf \(\R^2\) ist.

Dafür setzen wir Voraus, dass die Komponenten \(u,v\), stetig partiell differenzierbar sind und somit das totale Differential in \(p\in U\subset\C\) gegeben ist durch

\[\begin{split}df(p) = \begin{pmatrix} \partial_x u &\partial_y u\\ \partial_x v &\partial_y v \end{pmatrix}.\end{split}\]

Wir erkennen, dass das totale Differential auch eine Abbildung \(df(p):\C\to\C\) definiert

\[\begin{split}df(p)(z)= df(p)(x+iy):= \begin{pmatrix} \partial_x u &\partial_y u\\ \partial_x v &\partial_y v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\end{split}\]

welche offensichtlich linear über \(\R\) aber nicht notwendigerweise linear über \(\C\) ist.

Theorem 7.1

Es sei \(U\subset \C\) offen und \(f=u+iv:\C\to\C\) eine Funktionen mit stetig partiell differenzierbaren Funktionen \(u,v:\C\to\R\), dann sind folgende Aussagen äquivalent,

  1. \(f\) ist holomorph,

  2. die Abbildung \(df(p):\C\to\C\) ist linear über dem Körper \(\C\),

  3. es gelten die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen

\[\partial_x u = \partial_y v, \qquad \partial_y u = -\partial_x v.\]

Proof. ToDo, siehe Video ab Minute 32:30.

Example 7.1 (Holomorphe Funktionen)

Ableitung eines komplexen Monoms -> Beispiel 10.4 auf S.314 in Schulz-Baldes

\(f(z) := \overline{z}\) ist nicht holomorph -> Beispiel 10.7 auf S.315 in Schulz-Baldes

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