7.1. Die Komplexen Zahlen¶

Wir werden hier zunächst die wichtigen Grundlagen der komplexen Zahlen wiederholen. Die komplexen Zahlen werden eingeführt als das Tupel

\[\C := (\R^2,+,\cdot)\]

zusammen mit den Operationen

\[\begin{split}(x_1,y_1) + (x_2,y_2) &:= (x_1 + x_2, y_1+y_2),\\ (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) &:= (x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2, y_1\cdot x_2 + x_1\cdot y_2).\end{split}\]

Diese Struktur bildet einen Körper mit dem Einselement \(1:=(1,0)\). Das Element \(i:=(0,1)\) heißt imaginäre Einheit und erfüllt die Gleichung

\[i^2 = (0,1)\cdot(0,1) = -(1,0) = -1.\]

Als reeller Vektorraum hat \(\C\) die kanonische Basis \(\{(1,0),(0,1)\}=\{1,i\}\) weshalb wir jedes Element darstellen können über

\[(x,y) = x + iy.\]

Für eine komplexe Zahl \(z=x+ iy\in\C\) definieren wir

\(\Re(z):= x\) den Realteil,
\(\Im(z):=y\) den Imaginärteil,
\(\overline{z}:= x-iy\) die komplexe Konjugation,
\(\abs{z} = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{x^2+y^2}\) den Betrag.

Für den Betrag komplexer Zahlen gelten die bekannten Rechenregeln

\[\begin{split}\abs{0}&=0,\\ \abs{z\cdot w} &= \abs{z}\cdot \abs{w},\\ \abs{z+w}&\leq\abs{z}+\abs{w},\end{split}\]

für zwei komplexe Zahlen \(z,w\in\C\)

Insbesondere induziert der Betrag die Metrik

\[d(z,w):= \abs{z-w}\]

und damit auch eine Topologie sowie die Begriffe Konvergenz und Stetigkeit einer Funktion \(f:\C\to\C\).

Weiterhin lassen sich komplexe Zahlen auch in Polarkoordinaten darstellen, d.h., für jedes \(z\in\C\) existiert ein eindeutig bestimmter Winkel \(\varphi\in [0,2\pi]\), s.d.

\[z = r(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))\]

wobei \(r=\abs{z}\). In diesem Kontext ist auch die Eulersche Formel relevant,

(7.1)¶\[\exp(i\varphi) = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)\]

für \(\varphi\in [0,2\pi]\).

Mathematik für Physikstudierende C

Die Komplexen Zahlen

7.1. Die Komplexen Zahlen¶