7.6. Laurententwicklung und Residuensatz

In diesem Abschnitt betrachten wir nun Singularitäten holomorpher Funktionen auf gelochten Kreisscheiben. Konkret betrachten wir holomorphe Funktionen f:Br(p){p}C und interessieren uns speziell für das Verhalten nahes des entfernten Mittelpunktes pC.

7.6.1. Singularitäten holomorpher Funktionen

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit speziell ausgezeichneten Punkten, den sogenannten Singularitäten.

Definition 7.17 (Singularitäten)

Sei UC offen und pU ein Punkt und f:U{p}C eine holomorphe Funktion ist, dann nennen wir den Punkt p eine isolierte Singularität von f.

  1. Der Punkt pU heißt hebbare Singularität, falls p eine isolierte Singularität ist und es eine holomorphe Funktion g:UC gibt, so dass g(z)=f(z) gilt für alle zU{p}.

  2. Der Punkt pU heißt Pol, wenn ein kN existiert, s.d., z(zp)kf(z) eine hebbare Singularität in p hat. Das kleinste kN, das diese erfüllt heißt Ordnung des Pols.

  3. Wir nennen den Punkt p eine wesentliche Singularität, wenn p weder hebbar noch Pol ist.

Intuitiv ist eine Polstelle hebbar, falls die Funktion um die Polstelle herum beschränkt ist. Dies ist die Aussage des Riemannschen Hebbarkeitssatzes.

Theorem 7.9

Es sei UC offen, pU und f:U{p}C holomorph. Falls eine Umgebung VU,pV existiert, s.d., f auf V{p} beschränkt ist, so ist p eine hebbare Singularität.

Proof. Wir nehmen o.B.d.A. an, dass p=0 gilt und betrachten die Funktion

g(z):={z2f(z) für z0,0 für z=0.

Dann gilt

limz0g(z)g(0)z=limz0zf(z)=0

da f beschränkt in einer Umgebung um 0 ist. Somit ist g holomorph auf U und lässt sich damit als Potenzreihe in der 0 entwickeln,

g(z)=j=0ajzj,0=g(0)=a0,0=g(0)=a1.

Insbesondere gilt dann für zU{0}

f(z)=g(z)/z2=j=2ajzj2

wobei die Reihe auf der rechten Seite eine holomorphe Funktion auf ganz U definiert, daher ist 0 eine hebbare Singularität.

7.6.2. Laurent-Reihen

Zusätzlich zu Potenzreihen betrachtet man für Singularitäten sogenannte Laurent-Reihen, wobei man nicht nur Potenzen (zp)j für jN betrachtet, sondern auch negative Exponenten zulässt und somit effektive rationale Funktionen 1(zp)j hinzuaddiert.

Definition 7.18 (Laurent-Reihen)

Für eine Folge ajC,jZ nennen wir die Reihe

j=aj(zp)j

Laurent-Reihe am Entwicklungspunkt pC. Wir nennen die Reihe konvergent, falls die Teilsummen

j=0aj(zp)jj=1aj1(zp)j

konvergieren und setzten den Grenzwert als Summe der beiden einzelnen Grenzwerte.

Für Laurent-Reihen erhält man zwei Konvergenzradien, jeweils für die beiden Teilsummen.

Definition 7.19 (Laurent Konvergenzradien)

Für eine Laurent-Reihe sei R>0 der Konvergenzradius der Reihe

j=0aj(zp)j

und ˜r der Konvergenzradius der Reihe

j=1aj1(zp)j.

Dann heißt R äußerer und 1˜r innerer Konvergenzradius.

Anstatt von Kreisscheiben betrachten wir hier nun offene Ringe

Br,R(p):={zC:r<|zp|<R}

und erhalten folgende Aussage.

Lemma 7.13

Es sei j=aj(zp)j eine Laurent-Reihe mit äußerem Konvergenzradius R und innerem Konvergenzradius r, dann gilt

  • Die Reihe divergiert auf $\C\setminus\overline{B_{r,R}(p)},

  • Die Reihe konvergiert auf Br,R(p),

  • für r<˜r<˜R<R konvergiert die Reihe gleichmäßig absolut auf B˜r,˜R(p)

Proof. Folgt direkt aus Lemma 7.12

Analog zur Entwicklung in die Taylorreihe haben wir auf offenen Ringen eine Entwicklung in Laurent-Reihen.

Lemma 7.14 (Laurent-Entwicklung)

Es sei f:Br,R(p)C holomorph, dann gilt

f(z)=j=aj(zp)j,

wobei die Koeffizienten für jZ gegeben sind durch

aj=12πiBs(p)f(z)(zp)j+1dz für beliebiges s(r,R).

Proof. ToDo, siehe [Nee17] Satz 6.7.

Mithilfe der Laurent-Entwicklung auf der gelochten Kreisscheibe B0,R(p) können wir nun Singularitäten von holomorphen Funktionen charakterisieren.

Lemma 7.15

Es sei f:U{p}C holomorph, B0,R(p)U{p} und ajC,jZ seien die Koeffizienten der Laurent-Entwicklung auf B0,R welche nach Lemma 7.14 existieren. Dann gilt:

  1. Die Singularität p ist genau dann hebbar, wenn aj=0 für alle j<0.

  2. Die Singularität p ist genau dann ein Pol der Ordnung kN, ak0 und aj=0 für alle j<k.

  3. Die Singularität p ist genau dann wesentlich, falls aj0 für fast alle jN.

Proof. Ad 1.

Gilt aj=0 für alle j<0 so ist die Laurent-Reihe

f(z)=0aj(zp)j,

holomorph von B0,R(p) auf BR(p) fortsetzbar und die Singularität somit hebbar.

Ad 2.

Ist f(z)=jkaj(zp)j mit ak0, so ist

(zp)kf(z)=jkaj(zp)j+k

auf der Kreisscheibe KR(0) eine holomorphe Funktion und der Index k ist minimal mit dieser Eigenschaft, denn für m<k ist

(zp)mf(z)=jkaj(zp)j+m=(zp)mkjkaj(zp)j+k=(zp)mF(z),

wobei F(p)=ak0 ist und |zp|mk für zp gilt. Also besitzt f in p einen Pol der Ordnung k.

Ad 3.

In diesem Fall erhalten wir für kein kN eine hebbare Singularität von

(zp)kf(z)=jkaj(zp)j+k,

so dass die Singularität von f in p wesentlich ist.

7.6.3. Der Satz von Casorati–Weierstraß

Für wesentliche Singularitäten p können wir weder einen Wert der Funktion am Punkt p definieren, noch feststellen, dass die Funktion hier eindeutig gegen unendlich strebt. Tatsächlich nimmt eine Funktion um eine wesentliche Singularität herum überraschend viele verschiedene Werte an. Diese ist die Aussage des Satzes von Casorati–Weierstraß.

Theorem 7.10 (Casorati–Weierstraß)

Es sei UC offen und pU eine wesentliche Singularität der holomorphen Funktion f:U{p}C, dann gilt, dass f(U{p}) dicht in C liegt.

Proof. Angenommen f(U{p}) wäre nicht dicht, dann existiert ein wC und ein r>0, s.d.

Br(w)f(U{p})=.

Da das Bild von f somit einen echten Abstand zum Punkt p hat ist die Funktion

z1f(z)w

beschränkt und holomorph auf U{p}. Somit folgt mit dem Hebbarkeitssatz in Theorem 7.9, dass diese Funktion einen hebbaren Pol bei p hat und somit zur holomorphen Funktion h:UC fortsetzbar auf U ist. Diese Funktion hat keine Nullstellen auf U{p} und ist daher von der From

h(z)=(zp)kj(z)

wobei kN0,j:UC holomorph mit j(p)0. Dann hat aber

f(z)=1h(z)+w

eine hebbare Singularität bzw. einen Pol bei p was ein Widerspruch zur Annahme ist.

eine hebbare Singularität bei z=p.

7.6.4. Umlaufzahlen

Eine charakteristische Größe von Integrationswegen ist die sogenannte Umlaufzahl, welche beschreibt wie oft ein Weg um einen Punkt wC herum läuft.

Definition 7.20 (Umlaufzahl)

Sei γ:[a,b]C ein Integrationsweg und wCIm(γ) ein Punkt. Dann bezeichnet

Umγ(w):=12πiγ1zwdz

die Umlaufzahl (manchmal auch Index) von γ um w.

Anschaulich möchten wir für geschlossene Wege γ zählen, wie oft γ um einen Punkt w herumläuft. A priori ist allerdings nicht klar, dass die Umlaufzahl tatsächlich ganzzahlig ist. Dafür erhalten wir zunächst das folgende Resultat.

Lemma 7.16 (Ganzzahligkeit der Umlaufzahl)

Für r>0, wCIm(γ) ein Punkt, und kZ eine ganze Zahl. Sei außerdem ein Weg γr,k:[0,2π]C gegeben durch

γr,k(t):=w+rexp(ikt).

Dann gilt

Umγr,k(w)=k.

Proof. Wir berechnen explizit

Umγr,k(w):=12πiγr,k1zwdz=12πiγr,krkexp(ikt)rexp(ikt)dz=k,

was die Behauptung zeigt.

ToDo: Abbildung mit Beispiel von Wikipedia

Wir wissen bereits aus dem Homotopiesatz in {prf:ref}``, dass homotope Wege die gleiche Umlaufzahl liefern. Bisher wissen wir jedoch nicht, dass alle Wege zu einem Weg der Gestalt γr,k homotop sind. Der folgende Satz liefert uns diese Aussage.

Theorem 7.11

Sei γ:[a,b]C{w} ein geschlossenen Integrationsweg und wC ein Punkt. Dann gilt Umγ(w)Z. Sind außerdem γ0,γ1:[a,b]C{w} zwei geschlossene Integrationswege und γ0(a)=γ1(a), so sind die beiden Integrationswege genau dann homotop, wenn ihre Umlaufzahlen übereinstimmen, d.h.,

Umγ0(w)=Umγ1(w)

Proof. Sei also γ:[a,b]C{w} ein geschlossener Integrationsweg und sei γ(a)=z0C. Für die Funktion

η:[a,b]C,η(t):=γ|[a,t]dzzw=taγ(s)γ(s)wds

gilt dann nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung η(t)=γ(t)γ(t)w für jedes t in dem γ differenzierbar ist. Damit erhalten wir

ddt((γ(t)w)expη(t))=γ(t)expη(t)+(γ(t)w)expη(t)(η(t))=γ(t)expγ(t)γ(t)expη(t)=0.

Da offensichtlich η(a)=0 gilt erhalten wir

(γ(t)w)expγ(t)=(γ(a)w)expη(a)=γ(a)w=z0w,

so dass gilt

γ(t)=w+expγ(t)(z0w) für atb.

Für t=b erhalten wir insbesondere aus γ(a)=γ(b)=z0 die Beziehung expγ(b)=1. Andererseits gilt aber η(b)=2πiUmγ(w) und somit folgt schon Umγ(w)Z.

Seien also nun γ0,γ1:[a,b]C{w} geschlossene Integrationswege mit dem gleichen Anfangspunkt z0C. Wir definieren zwei Funktionen η0,η1:[a,b]C analog wie oben. Diese Funktionen sind stückweise stetig differenzierbare Kurven mit

γ0(a)=γ1(a)=0 und η0(b)=2πiUmγ1(w)=2πiUmγ2(w)=η1(b).

Sei nun

h(s,t):=sη1(t)+(1s)η0(t)

eine Homotopie von η0 nach η1 mit festen Endpunkten. Also ist

H(s,t):=w+exph(s,t)(z0w)

eine Homotopie von γ0 nach γ1 mit festen Endpunkten.

Aus der Einsicht, dass jede Umlaufzahl ganzzahlig ist, stellt sich die Frage, wie diese Umlaufzahl von der Wahl des Punktes abhängt. Dies beantwortet uns das folgene Korollar.

Corollary 7.3

Sei γ:[a,b]C ein geschlossener Weg. Dann ist die Menge U:=CIm(γ) offen und Umγ:UZ ist eine Funktion, die konstant auf jeder Zusammenhangskomponente von U ist.

Außerdem existiert ein Radius R>0, so dass für die Kreisscheibe K>R(0) gilt

K>R(0):={zC:|z|>R}U

und es gilt Umγ(w)=0 für alle wK>R(0).

Proof. Aus der Formel

Umγ(w)=12πiγ1zwdz=12πibaγ(t)γ(t)wdt

und aus der Stetigkeit des Integranden als Funktion von (t,w) in der Menge [a,b]×U folgt die Stetigkeit der Funktion Umγ. Da die Funktion Umγ Werte in Z annimmt, muss sie auf jeder Zusammenhangskomponente von U konstant sein. Andererseits gilt für die Länge L(γ)=ba|γ(t)|dt die Abschätzung

|baγ(t)γ(t)wdt|ba|γ(t)||γ(t)w|dtba|γ(t)||w|Rdt=1|w|RL(γ).

Hieraus folgt schon limwUmγ(w)=0, also ist Umγ(w)=0 für alle Punkte wC mit |w|>R.

7.6.5. Cauchyscher Residuensatz

In diesem letzten Abschnitt zur Funktionentheorie widmen wir uns einem der zentralen Aussagen der Funktionentheorie, den Cauchyschen Residuensatz.

Er erlaubt es die Berechnung von Kurvenintegralen auf eine wesentlich einfachere Berechnung von Umlaufzahlen und sogenannten Residuen zu reduzieren, was für viele Anwendungen in der Physik sehr praktisch ist.

Wir beginnen zunächst mit der Einführung des Begriffs des Residuums einer Laurent-Entwicklung.

Definition 7.21 (Residuum)

Sei UC eine offene Menge, pU ein Punkt und f:U{p}C eine holomorphe Funktion. Sei außerdem

f(z)=j=aj(zp)j

die Laurent-Entwicklung von f bei der isolierten Singularität p.

Dann nennen wir

Respf:=a1

das **Residuumvonfbeip$.

Das folgende Lemma erlaubt die explizite Berechnung des Residuums.

Lemma 7.17 (Berechnung des Residuums)

Sei UC eine offene Teilmenge und pU Pol einer holomorphen Funktion f:U{p}C.

Für genügend kleine ϵ>0 lässt sich das Residuum von f bei p angeben als

Resp(f)=Bϵ(p)f(z)dz2πi.

Falls der Pol von Ordnung m ist, lässt sich das Residuum von f bei p sogar angeben als

Resp(f)=m1z((zp)mf(z)(m1)!)|z=p.

Proof. Folgt direkt mit der Darstellung der Laurent-Koeeffizienten in Lemma 7.14.

Der folgende Residuensatz von Cauchy stellt eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie dar. Er erlaubt es uns Kurvenintegrale mit Hilfe der Umlaufzahl und des Residuums zu berechnen, was sich als sehr nützlich herausstellt.

Theorem 7.12 (Cauchyscher Residuensatz)

Sei UC offen und f:UPC eine holomorphe Funktion mit endlicher Menge PC von Polstellen. Sei außerdem γ ein geschlossener und zusammenziehbarer Weg in U mit Im(γ)P=.

Dann gilt,

12πiγf(z)dz=pPUmγ(p)Resp(f).

Proof. Sei pP und f(z)=n=an(zp)n die Laurent-Entwicklung von f um p. Dann ist

hp(z):=n2an(zp)n

eine auf C{p} holomorphe Funktion mit Stammfunktion

H(z):=n2ann+1(zp)n+1$.

Also verschwindet jedes Integral δhp(z) für jeden geschlossenen Weg δ in C{p}. Die Funktion

F(z):=f(z)pPhp(z)pPRespfzp

hat nun in allen pP hebbare Singularitäten und ist somit holomorph auf U. Nach dem Integralsatz von Cauchy in {prf:ref}`` gilt schließlich

0=γ(f(z)pPhp(z)pPRespfzp)dz=γf(z)dzpPRespfγ1zpdz=γf(z)dz2πipPRespfUmγ(p).

Remark 7.11

Für holomorphe Funktionen f entspricht der Residuensatz gerade dem Cauchyschen Integralsatz. Wenn D als Sterngebiet angenommen wird ist die Zusammenziehbarkeit des Wegs γ immer erfüllt.