Potenzreihen
Inhalt
7.5. Potenzreihen¶
In diesem Abschnitt wollen wir genauer auf analytische Funktionen bzw. Potenzreihen eingehen, wir betrachten also Funktionen
mit komplexen Koeffizienten \(a_j\in\C\).
7.5.1. Analytische Funktionen¶
Wir betrachten zunächst Funktionen welche durch Potenzreihen gegeben sind und erhalten, dass sie auf Kreisscheiben schon holomorph sind.
Lemma 7.11
Es sei \(a_j\in\C, j\in\N_0\) eine Folge komplexer Zahlen, \(p\in\C\) und die Reihe
konvergiere für \(z\neq p\). Dann ist die Funktion \(f:z\mapsto \sum_{j=0}^\infty a_j (z-p)^j\) holomorph auf der Kreisscheibe \(B_r(p)\), wobei \(r:=\abs{z_0-p}\) und
Proof. Siehe [Nee17] Satz 2.19.
Eine besondere Klasse von Funktionen sind analytische Funktonen, die sich lokal mit Hilfe von Reihen darstellen lassen.
Definition 7.15 (Analytische Funktion)
Sei \(U \subset \C\) offen und \(f: U\to \C\) eine Funktion.
Wir nennen \(f\) analytisch in einem Punkt \(p \in U\) genau dann, wenn ein \(r > 0\) existiert, so dass sich die Funktion lokal in \(B_r(p)\) als Potenzreihe darstellen lässt,
wobei \((a_n)_{n_\in\N}\) eine Folge in \(\C\) ist.
Wir nennen die Funktion \(f\) analytisch auf der Teilmenge \(U\), wenn sie analytisch ist für alle Punkte \(z_0 \in D\).
Der folgende Satz beschreibt den Zusammenhang zwischen analytischen und holomorphen Funktionen.
Theorem 7.7
Jede analytische Funktion \(f\) auf einer Teilmenge \(U \subset \C\) ist auch holomorph auf \(U\).
Proof. Folgt direkt aus Lemma 7.11
Wir wollen im folgenden sehen, dass auch die Umkehrung gilt.
7.5.2. Konvergenzradius¶
Ein wichtige Eigenschaft von Potenzreihen um \(p\in\C\) ist, dass Konvergenz an einem Punkt \(z\) schon die absolute und gleichmäßige Konvergenz innerhalb einer Kreisscheibe impliziert.
Lemma 7.12
Konvergiert die Reihe \(\sum_{j=0}^\infty a_j (z_0-p)^j\) für \(z_0\in\C\), so konvergiert die Reihe \(\sum_{j=0}^\infty a_j (z-p)^n\) auf jeder offenen Kreisscheibe \(B_r(p)\) mit \(r< \abs{z_0 - p}\).
Proof. O.B.d.A. gelte \(p=0\), da \(\sum_{j=0}^\infty a_j z_0^j\) konvergiert ist, \(a_j z_0^j\) eine Nullfolge und insbesondere existiert eine Konstante \(C>0\), s.d., \(\abs{a_j z_0^j}< C\) für alle \(j\in\N\). Sei nun \(r<\abs{z_0}\), dann folgt für jedes \(z\in B_r(0)\), dass
und damit
wobei die geometrische Reihe auf der linken Seite konvergiert. Somit konvergiert die Reihe auf \(B_r(0)\) nach dem Majorantenkriterium gleichmäßig absolut.
Der maximale Radius für welchen eine Potenzreihe konvergiert, wird als Konvergenzradius bezeichnet.
Definition 7.16 (Konvergenzradius)
Für eine Koeeffizientenfolge \(a_j\in\C\) und \(p\in\C\) ist der Konvergenzradius der Potenzreihe definiert durch
Die Definition ist äquivalent zum Wert
was auf das bekannte Wurzelkriterium führt.
7.5.3. Entwicklungssatz¶
In diesem Abschnitt erarbeiten wir mithilfe von Potenzreihen die komplexe Taylorreihe.
Theorem 7.8 (Entwicklungssatz)
Es sei \(B_r(p)\) eine offene Kreisscheibe um \(p\in\C\) und \(f:B_r(p)\to\C\) eine Funktion. Die Funktion \(f\) ist genau dann holomorph, wenn sie durch eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt \(p\) dargestellt werden kann, d.h. falls eine Folge \(a_j\in\C\) existiert, s.d.,
In diesem Fall gilt insbesondere
Remark 7.10
Diese Aussage bildet das Gegenstück zur Tatsache das analytische Funktionen holomorph sind. Insbesondere ist die Reihe die man so erhält die Taylorreihe
Proof. ToDo, siehe [Nee17] Satz 5.7.
Example 7.2
ToDo, sehr wichtiges Beispiel aus [Nee17] 5.10.