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2.8. Normale Endomorphismen

Zum Schluss betrachten wir noch eine weitere besondere Gruppe von Abbildungen. Die sogenannten \emph{normalen Endomorphismen} zeichnen sich insbesondere dadurch aus, dass sie mit Ihrem adjungierten Endomorphismus kommutieren. Hierzu betrachten wir die folgende Definition.

Definition 2.21 (Normaler Endomorphismus)

Ist $V$ ein Euklidischer oder unitärer Vektorraum, so heißt ein Endomorphismus $F$ von $V$ \emph{normal}, wenn er mit seiner Adjungierten kommutiert, d.h.,

$$\begin{equation*} F\circ F^* = F^* \circ F. \end{equation*}$$

Ist $A=\operatorname{M}_{B}(F)$ eine darstellende Matrix von $F$ bezüglich einer Orthonormalbasis $B$ von $V$, so bedeutet das

$$\begin{equation*} A\cdot A^* \ = \ A^* \cdot A. \end{equation*}$$

Example 2.15

Wir wollen im folgenden hinreichende Bedingungen für Normalität eines Endomorphismus angeben.

$i)$ Jeder unitäre Endomorphismus $F$ ist normal, da wegen $F^* = F^{-1}$ gilt

$$\begin{equation*} F \circ F^* \ = \ F \circ F^{-1} \ = \ \operatorname{Id}_V \ = \ F^{-1} \circ F \ = \ F^* \circ F. \end{equation*}$$

$ii)$ Jeder selbstadjungierte Endomorphismus $F$ ist normal, da wegen $F^* = F$ gilt

$$\begin{equation*} F \circ F^* \ = \ F \circ F \ = \ F^2 \ = \ F \circ F \ = \ F^* \circ F. \end{equation*}$$

Für normale Endomorphismen stellt sich heraus, dass sowohl ihr Kern (sowie ihr Bild) mit denen der adjungierten Abbildung übereinstimmen, wie folgender Satz aussagt.

Theorem 2.15

Sei $V$ ein unitärer Vektorraum und $F \colon V \rightarrow V$ ein normaler Endomorphismus von $V$. Dann gilt

$$\begin{equation*} \Kern F^* \ = \ \Kern F \quad \text{ und } \quad \Bild F^* \ = \ \Bild F.. \end{equation*}$$

Proof. Sei $v \in \Kern F$, so können wir wegen der Normalität von $F$ folgern

$$\begin{equation*} \begin{split} 0 \ = \ \langle F(v), F(v) \rangle \ &= \ \langle v, F^* \circ F(v) \rangle \\ \ &= \ \langle v, F \circ F^*(v) \rangle \ = \ \overline{\langle F \circ F^*(v), v \rangle} \ = \ \overline{\langle F^*(v), F^*(v) \rangle}. \end{split} \end{equation*}$$

Da das komplexe Skalarprodukt positiv definit ist muss also schon gelten, dass $F^*(v) = 0$ gilt und somit $v \in \Kern F^*$ ist. Damit haben wir gezeigt, dass $\Kern F^* = \Kern F$ gilt. Wegen der Dimensionsformel von Bild und Kern \cite[Satz 2.2.4]{fischer} folgt dann auch schon direkt, dass $\Bild F^* = \Bild F$ ist.

Um die Normalform von normalen Endomorphismen zu untersuchen, beweisen wir zunächst das folgende Lemma.

Lemma 2.16

Sei $V$ ein Euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und $F\colon V\to V$ ein Endomorphismus. Dann gelten die folgenden Aussagen:

$i)$ $F$ ist genau dann normal, wenn

$$\begin{equation*} \langle F^*(v), F^*(w)\rangle \ = \ \langle F(v), F(w)\rangle\quad\text{für alle}~v,w\in V. \end{equation*}$$

$ii)$ Ist $F$ normal, so folgt für alle $v\in V$

$$\begin{equation*} \Vert F^*(v)\Vert \ = \ \Vert F(v)\Vert. \end{equation*}$$

$iii)$ Ist $F$ normal, so ist $G:=F-\lambda\operatorname{Id}_V$ für alle $\lambda\in\K$ normal.

$iv)$ Ist $F$ normal, so gilt für alle $v\in V$ und $\lambda\in\K$

$$\begin{equation*} F(v) = \lambda v\quad\Leftrightarrow\quad F^*(v) = \bar\lambda v. \end{equation*}$$

Proof. Die einzelnen Aussagen folgen direkt aus der Definition Definition 2.21 von normalen Endomorphismen.

Ad $i)$

Ist $F$ normal, so können wir wegen $(F^*)^* = F$ und der Definition Definition 2.20 der Adjungierten folgern, dass gilt

$$\begin{equation*} \langle F(v), F(w)\rangle \ = \ \langle v, (F^*\circ F)(w)\rangle \ = \ \langle v, (F\circ F^*)(w)\rangle \ = \ \langle F^*(v), F^*(w)\rangle. \end{equation*}$$

Ad $ii)$

sofort aus $i)$, da $||v|| = \sqrt{\langle v, v \rangle}$ für alle $v\in V$ gilt.

Ad $iii)$

Wir leiten uns zunächst den adjungierten Endomorphismus $G^*$ von $G$ her. Seien $v,w \in V$ und $G \coloneqq F - \lambda \operatorname{Id}_V$, dann gilt:

$$\begin{equation*} \begin{split} \langle G(v), w \rangle \ &= \ \langle (F(v) - \lambda \operatorname{Id}_V) (v), w \rangle \ = \ \langle F(v), w \rangle - \lambda \langle \operatorname{Id}_V (v), w \rangle \\ \ &= \ \langle v, F^*(w) \rangle - \lambda \langle v, \operatorname{Id}_V(w) \rangle \ = \ \langle v, (F^*(w) -\bar\lambda \operatorname{Id}_V) (w) \rangle \ = \ \langle v, G^*(w) \rangle. \end{split} \end{equation*}$$

Es gilt also

$$\begin{equation*} G^* \ = \ F^* - \bar\lambda\operatorname{Id}_V. \end{equation*}$$

Durch Einsetzen erhalten wir die Normalität von $G$ durch

$$\begin{equation*} \begin{split} G\circ G^* \ &= \ F\circ F^* - \lambda F^* - \bar\lambda F + \lambda\bar\lambda \\ \ &= \ F^*\circ F - \bar\lambda F - \lambda F^* + \lambda\bar\lambda \ = \ G^*\circ G. \end{split} \end{equation*}$$

Ad $iv)$

Da $G = F - \lambda \operatorname{Id}_V$ nach iii) normal ist, können wir Satz Theorem 2.15 anwenden und erhalten damit:

$$\begin{equation*} \Eig(F; \lambda) \ = \ \Kern G \ = \ \Kern G^* \ = \ \Eig(F^*; \bar\lambda). \end{equation*}$$

Dies zeigt insbesondere, dass $F$ und $F^*$ die gleichen Eigenvektoren besitzen.

Schließlich stellen wir mit dem folgenden Satz fest, dass die Normalform von normale Endomorphismen Diagonalgestalt besitzt.

Theorem 2.16 (Diagonalisierungssatz)

Für einen Endomorphismus $F$ eines unitären Vektorraums $V$ sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

$i)$ $F$ ist normal.

$ii)$ Es gibt eine Orthonormalbasis $B$ von $V$ bestehend aus Eigenvektoren von $F$.

Proof. $i)\Rightarrow ii)$:

Wir führen den Beweis mittels vollständiger Induktion über $n=\dim V$.

Induktionsanfang: $n=1$

Sei $\lambda_1 \in \mathbb{K}$ der Eigenwert von $F$ und $v_1 \in V$ der zugehörige Eigenvektor mit $||v_1|| = 1$ (durch Normalisierung). Dann bildet $B = (v_1)$ eine Orthonormalbasis von $V$.

Induktionsschritt: $n-1 \rightarrow n$

Die Induktionsannahme ist, dass die Aussage bereits für den Fall $n-1$ gezeigt wurde.
Sei $\lambda_1\in\C$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $F$ und $v_1\in V$ ein zugehöriger Eigenvektor mit $\Vert v_1\Vert = 1$ (durch Normalisierung). Wir definieren das orthogonale Komplement $W:=\lin(\lbrace v_1 \rbrace)^\perp\subset V$ von $v_1$. Für jedes $w\in W$ gilt dann nach Lemma Lemma 2.16

$$\begin{equation*} \langle F(w), v_1\rangle \ = \ \langle w, F^*(v_1)\rangle \ = \ \langle w, \bar\lambda_1v_1\rangle \ = \ \lambda_1\langle w, v_1\rangle \ = \ 0. \end{equation*}$$

Daraus folgt $F(W)\subset W$. $F\vert_W\colon W\to W$ ist als Einschränkung von $F$ wieder normal und für die charakteristischen Polynome gilt

$$\begin{equation*} P_F \ = \ (t-\lambda_1) \cdot P_{F\vert_{W}}. \end{equation*}$$

Nach Induktionsvorraussetzung wissen wir also, dass es eine Orthonormalbasis $B' = (v_2, \ldots, v_n)$ von $W$ aus Eigenvektoren von $F|_W$ gibt. Diese ergänzen wir um den Eigenvektor $v_1$ von $F$ zu einer Orthonormalbasis $B = (v_1, \ldots, v_n)$ von $V$ aus Eigenvektoren von $F$.

$ii)\Rightarrow i)$:

Die Matrix $D:=\operatorname{M}_{B}(F)$ ist diagonal und es gilt

$$\begin{equation*} \operatorname{M}_{\mathcal{B}}(F^*) \ = \ D^* \ = \ \bar D. \end{equation*}$$

Da die folgende Gleichung gilt

$$\begin{equation*} D\cdot D^* \ = \ D\cdot \bar D \ = \ \bar D\cdot D \ = \ D^* \cdot D \end{equation*}$$

ist $F$ normal.

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