2.8. Normale Endomorphismen

Zum Schluss betrachten wir noch eine weitere besondere Gruppe von Abbildungen. Die sogenannten \emph{normalen Endomorphismen} zeichnen sich insbesondere dadurch aus, dass sie mit Ihrem adjungierten Endomorphismus kommutieren. Hierzu betrachten wir die folgende Definition.

Definition 2.21 (Normaler Endomorphismus)

Ist \(V\) ein Euklidischer oder unitärer Vektorraum, so heißt ein Endomorphismus \(F\) von \(V\) \emph{normal}, wenn er mit seiner Adjungierten kommutiert, d.h.,

\[\begin{equation*} F\circ F^* = F^* \circ F. \end{equation*}\]

Ist \(A=\operatorname{M}_{B}(F)\) eine darstellende Matrix von \(F\) bezüglich einer Orthonormalbasis \(B\) von \(V\), so bedeutet das

\[\begin{equation*} A\cdot A^* \ = \ A^* \cdot A. \end{equation*}\]

Example 2.15

Wir wollen im folgenden hinreichende Bedingungen für Normalität eines Endomorphismus angeben.

\(i)\) Jeder unitäre Endomorphismus \(F\) ist normal, da wegen \(F^* = F^{-1}\) gilt

\[\begin{equation*} F \circ F^* \ = \ F \circ F^{-1} \ = \ \operatorname{Id}_V \ = \ F^{-1} \circ F \ = \ F^* \circ F. \end{equation*}\]

\(ii)\) Jeder selbstadjungierte Endomorphismus \(F\) ist normal, da wegen \(F^* = F\) gilt

\[\begin{equation*} F \circ F^* \ = \ F \circ F \ = \ F^2 \ = \ F \circ F \ = \ F^* \circ F. \end{equation*}\]

Für normale Endomorphismen stellt sich heraus, dass sowohl ihr Kern (sowie ihr Bild) mit denen der adjungierten Abbildung übereinstimmen, wie folgender Satz aussagt.

Theorem 2.15

Sei \(V\) ein unitärer Vektorraum und \(F \colon V \rightarrow V\) ein normaler Endomorphismus von \(V\). Dann gilt

\[\begin{equation*} \Kern F^* \ = \ \Kern F \quad \text{ und } \quad \Bild F^* \ = \ \Bild F.. \end{equation*}\]

Proof. Sei \(v \in \Kern F\), so können wir wegen der Normalität von \(F\) folgern

\[\begin{equation*} \begin{split} 0 \ = \ \langle F(v), F(v) \rangle \ &= \ \langle v, F^* \circ F(v) \rangle \\ \ &= \ \langle v, F \circ F^*(v) \rangle \ = \ \overline{\langle F \circ F^*(v), v \rangle} \ = \ \overline{\langle F^*(v), F^*(v) \rangle}. \end{split} \end{equation*}\]

Da das komplexe Skalarprodukt positiv definit ist muss also schon gelten, dass \(F^*(v) = 0\) gilt und somit \(v \in \Kern F^*\) ist. Damit haben wir gezeigt, dass \(\Kern F^* = \Kern F\) gilt. Wegen der Dimensionsformel von Bild und Kern \cite[Satz 2.2.4]{fischer} folgt dann auch schon direkt, dass \(\Bild F^* = \Bild F\) ist.

Um die Normalform von normalen Endomorphismen zu untersuchen, beweisen wir zunächst das folgende Lemma.

Lemma 2.16

Sei \(V\) ein Euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und \(F\colon V\to V\) ein Endomorphismus. Dann gelten die folgenden Aussagen:

\(i)\) \(F\) ist genau dann normal, wenn

\[\begin{equation*} \langle F^*(v), F^*(w)\rangle \ = \ \langle F(v), F(w)\rangle\quad\text{für alle}~v,w\in V. \end{equation*}\]

\(ii)\) Ist \(F\) normal, so folgt für alle \(v\in V\)

\[\begin{equation*} \Vert F^*(v)\Vert \ = \ \Vert F(v)\Vert. \end{equation*}\]

\(iii)\) Ist \(F\) normal, so ist \(G:=F-\lambda\operatorname{Id}_V\) für alle \(\lambda\in\K\) normal.

\(iv)\) Ist \(F\) normal, so gilt für alle \(v\in V\) und \(\lambda\in\K\)

\[\begin{equation*} F(v) = \lambda v\quad\Leftrightarrow\quad F^*(v) = \bar\lambda v. \end{equation*}\]

Proof. Die einzelnen Aussagen folgen direkt aus der Definition Definition 2.21 von normalen Endomorphismen.

Ad \(i)\)

Ist \(F\) normal, so können wir wegen \((F^*)^* = F\) und der Definition Definition 2.20 der Adjungierten folgern, dass gilt

\[\begin{equation*} \langle F(v), F(w)\rangle \ = \ \langle v, (F^*\circ F)(w)\rangle \ = \ \langle v, (F\circ F^*)(w)\rangle \ = \ \langle F^*(v), F^*(w)\rangle. \end{equation*}\]

Ad \(ii)\)

sofort aus \(i)\), da \(||v|| = \sqrt{\langle v, v \rangle}\) für alle \(v\in V\) gilt.

Ad \(iii)\)

Wir leiten uns zunächst den adjungierten Endomorphismus \(G^*\) von \(G\) her. Seien \(v,w \in V\) und \(G \coloneqq F - \lambda \operatorname{Id}_V\), dann gilt:

\[\begin{equation*} \begin{split} \langle G(v), w \rangle \ &= \ \langle (F(v) - \lambda \operatorname{Id}_V) (v), w \rangle \ = \ \langle F(v), w \rangle - \lambda \langle \operatorname{Id}_V (v), w \rangle \\ \ &= \ \langle v, F^*(w) \rangle - \lambda \langle v, \operatorname{Id}_V(w) \rangle \ = \ \langle v, (F^*(w) -\bar\lambda \operatorname{Id}_V) (w) \rangle \ = \ \langle v, G^*(w) \rangle. \end{split} \end{equation*}\]

Es gilt also

\[\begin{equation*} G^* \ = \ F^* - \bar\lambda\operatorname{Id}_V. \end{equation*}\]

Durch Einsetzen erhalten wir die Normalität von \(G\) durch

\[\begin{equation*} \begin{split} G\circ G^* \ &= \ F\circ F^* - \lambda F^* - \bar\lambda F + \lambda\bar\lambda \\ \ &= \ F^*\circ F - \bar\lambda F - \lambda F^* + \lambda\bar\lambda \ = \ G^*\circ G. \end{split} \end{equation*}\]

Ad \(iv)\)

Da \(G = F - \lambda \operatorname{Id}_V\) nach iii) normal ist, können wir Satz Theorem 2.15 anwenden und erhalten damit:

\[\begin{equation*} \Eig(F; \lambda) \ = \ \Kern G \ = \ \Kern G^* \ = \ \Eig(F^*; \bar\lambda). \end{equation*}\]

Dies zeigt insbesondere, dass \(F\) und \(F^*\) die gleichen Eigenvektoren besitzen.

Schließlich stellen wir mit dem folgenden Satz fest, dass die Normalform von normale Endomorphismen Diagonalgestalt besitzt.

Theorem 2.16 (Diagonalisierungssatz)

Für einen Endomorphismus \(F\) eines unitären Vektorraums \(V\) sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

\(i)\) \(F\) ist normal.

\(ii)\) Es gibt eine Orthonormalbasis \(B\) von \(V\) bestehend aus Eigenvektoren von \(F\).

Proof. \(i)\Rightarrow ii)\):

Wir führen den Beweis mittels vollständiger Induktion über \(n=\dim V\).

Induktionsanfang: \(n=1\)

Sei \(\lambda_1 \in \mathbb{K}\) der Eigenwert von \(F\) und \(v_1 \in V\) der zugehörige Eigenvektor mit \(||v_1|| = 1\) (durch Normalisierung). Dann bildet \(B = (v_1)\) eine Orthonormalbasis von \(V\).

Induktionsschritt: \(n-1 \rightarrow n\)

Die Induktionsannahme ist, dass die Aussage bereits für den Fall \(n-1\) gezeigt wurde.
Sei \(\lambda_1\in\C\) eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von \(F\) und \(v_1\in V\) ein zugehöriger Eigenvektor mit \(\Vert v_1\Vert = 1\) (durch Normalisierung). Wir definieren das orthogonale Komplement \(W:=\lin(\lbrace v_1 \rbrace)^\perp\subset V\) von \(v_1\). Für jedes \(w\in W\) gilt dann nach Lemma Lemma 2.16

\[\begin{equation*} \langle F(w), v_1\rangle \ = \ \langle w, F^*(v_1)\rangle \ = \ \langle w, \bar\lambda_1v_1\rangle \ = \ \lambda_1\langle w, v_1\rangle \ = \ 0. \end{equation*}\]

Daraus folgt \(F(W)\subset W\). \(F\vert_W\colon W\to W\) ist als Einschränkung von \(F\) wieder normal und für die charakteristischen Polynome gilt

\[\begin{equation*} P_F \ = \ (t-\lambda_1) \cdot P_{F\vert_{W}}. \end{equation*}\]

Nach Induktionsvorraussetzung wissen wir also, dass es eine Orthonormalbasis \(B' = (v_2, \ldots, v_n)\) von \(W\) aus Eigenvektoren von \(F|_W\) gibt. Diese ergänzen wir um den Eigenvektor \(v_1\) von \(F\) zu einer Orthonormalbasis \(B = (v_1, \ldots, v_n)\) von \(V\) aus Eigenvektoren von \(F\).

\(ii)\Rightarrow i)\):

Die Matrix \(D:=\operatorname{M}_{B}(F)\) ist diagonal und es gilt

\[\begin{equation*} \operatorname{M}_{\mathcal{B}}(F^*) \ = \ D^* \ = \ \bar D. \end{equation*}\]

Da die folgende Gleichung gilt

\[\begin{equation*} D\cdot D^* \ = \ D\cdot \bar D \ = \ \bar D\cdot D \ = \ D^* \cdot D \end{equation*}\]

ist \(F\) normal.