1.1. Mathematische Grundlagen

Zur Entwicklung der Eigenwerttheorie betrachten wir in diesem Kapitel spezielle lineare Abbildungen \(F \colon V \rightarrow V\), den sogenannten Endomorphismen, die von einem Vektorraum \(V\) wieder nach \(V\) abbilden. Hierbei beschränken wir uns auf den endlich-dimensionalen Fall und nehmen im Folgenden immer an, dass \(V\) ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum über einem Körper \(\mathbb{K}\) ist und eine endliche Dimension \(\operatorname{dim}(V) = n, n \in \mathbb{N}\), besitzt. Ein kanonisches Beispiel wäre der Vektorraum \(V = \mathbb{R}^n\). Es sei angemerkt, dass Eigenwerte auch für den Fall von unendlich-dimensionalen Vektorräumen untersucht werden können, zum Beispiel bei der Spektraltheorie in der Funktionanalysis. Wir wollen uns in dieser Vorlesung jedoch auf den einfacheren, endlich-dimensionalen Fall beschränken.

Wir beginnen mit einer kurzen Auffrischung der Beziehung einer darstellenden Matrix und einer allgemeinen linearen Abbildung zwischen zwei \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen. Wie wir wissen, besteht zwischen Matrizen aus \(\mathbb{K}^{n\times m}\) und linearen Abbildungen \(F : V \rightarrow W\) zwischen \(n\)– bzw. \(m\)–dimensionalen \(\mathbb{K}\)–Vektorräumen \(V\) und \(W\) ein enger Zusammenhang. Ist \(B = (b_1 , . . . , b_n)\) eine Basis von \(V\) und \(C = (c_1, . . . ,c_m)\) eine Basis von \(W\) , dann ist die darstellende Matrix \(M_C^B(F) \in \mathbb{K}^{n \times m}\) diejenige Matrix, bezüglich derer der Vektor \(\sum_{i=1}^n v_i b_i \in V\) unter \(F\) auf den Vektor \(\sum_{j=1}^m w_j c_j \in W\) mit

\[\begin{equation*} w_j \ = \ \sum_{i=1}^n (M_C^B(F))_{j,i} v_i \end{equation*}\]

abgebildet wird. Die Matrix \(M_C^B(F)\) drückt also aus, wie sich die lineare Abbildung auf Vektoren von \(V\) bezüglich der gewählten Basen \(B\) und \(C\) verhält, so dass viele mathematische Sätze für lineare Abbildungen und Matrizen äquivalent formuliert werden können.

Besonders wichtig für die Eigenwerttheorie ist der folgende grundlegende Basiswechselsatz.

Theorem 1.1 (Basiswechselsatz)

Seien \(V\) ein \(n\)-dimensionaler \(\mathbb{K}\)-Vektorraum mit \(n \in \mathbb{N}\) und seien

\[\begin{equation*} B \ \coloneqq \ (b_1, \ldots, b_n), \quad C \ \coloneqq \ (c_1, \ldots, c_n) \end{equation*}\]

zwei Basen von \(V\). Sei nun \(v \in V\) ein Vektor, der in den beiden Basen folgende Darstellungen hat

\[\begin{equation*} v \ = \ \sum_{i=1}^n x_i b_i \ = \ \sum_{i=1}^n y_i c_i. \end{equation*}\]

Die Koordinaten \((x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{K}^n\) und \((y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{K}^n\) sind eindeutig bestimmt und es existiert eine reguläre Matrix \(T_C^B \in \GL(n; \mathbb{K})\), genannt Transformationsmatrix, die einen Basiswechsel von \(B\) nach \(C\) wie folgt realisiert:

\[\begin{equation*} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \ = \ T_C^B \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Außerdem lassen sich die Koordinaten des Vektors \(v\) bezüglich der Basis \(B\) aus den Koordinaten bezüglich der Basis \(C\) unter zu Hilfenahme der inversen Transformationsmatrix \(T_B^C = (T_C^B)^{-1}\) berechnen und es gilt

\[\begin{equation*} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \ = \ T_B^C \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Proof. Siehe Bemerkung 2.6.2 und 2.6.3 in [Fis05].

Bevor wir uns dem eigentlich Studium von Eigenwerten und Eigenvektoren widmen, wollen wir noch einige grundlegende Begriffe aus der Linearen Algebra wiederholen, die aus [Bur20] bereits bekannt sein sollten. Hierbei handelt es sich um nützliche Begriffe und Eigenschaften von quadratische Matrizen als Repräsentanten von Endomorphismen, die ein Spezialfall von linearen Abbildungen zwischen \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen darstellen.

Definition 1.1 (Spur einer Matrix)

Sei \(A \in \mathbb{K}^{n \times n}\) eine quadratische Matrix. Dann ist die Spur \(\tr(A)\) von \(A\) definiert als die Summe der Diagonaleinträge von \(A\), d.h.,

\[\begin{equation*} \tr(A) \ \coloneqq \ \sum_{i=1}^n A_{i,i}. \end{equation*}\]

Definition 1.2 (Kern einer Matrix)

Sei \(A \in \mathbb{K}^{n \times n}\) eine quadratische Matrix. Dann ist der Kern \(\Kern(A)\) von \(A\), auch Nullraum genannt, definiert als der Unterraum von \(V\), dessen Vektoren von \(A\) auf den Nullvektor \(\vec{0} \in V\) abgebildet werden, d.h.,

\[\begin{equation*} \Kern(A) \ \coloneqq \ \lbrace{ v \in V \, | \, Av = 0 \rbrace}. \end{equation*}\]

Der Kern von \(A\) ist also gerade der Lösungsraum des homogenen, linearen Gleichungssystems \(Av = 0\).

Definition 1.3 (Bild und Rang einer Matrix)

Sei \(A \in \mathbb{K}^{n \times n}\) eine quadratische Matrix.

  • Dann ist das mit \(\Bild(A)\) bezeichnete Bild von \(A\), auch Bildraum genannt, definiert als der Unterraum von \(V\), auf den alle Vektoren \(v \in V\) von \(A\) abgebildet werden, d.h.,

\[\begin{equation*} \Bild(A) \ \coloneqq \ \lbrace{ w \in V \, | \, Av = w, v \in V \rbrace}. \end{equation*}\]

  • Weiterhin können wir den mit \(\Rang(A)\) bezeichneten Rang von \(A\) definieren als Dimension des Bildraums von \(A\), d.h., \(\Rang(A) \coloneqq \dim \Bild(A)\).

Folgende Lemmata werden uns nützlich sein in Bezug auf die Determinante \(\det(A)\) einer quadratischen Matrix \(A\).

Lemma 1.1

Eine quadratische Matrix \(A \in \mathbb{K}^{n \times n}\) hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante ungleich Null ist, d.h.

\[\begin{equation*} \Rang(A) = \dim V \ \Leftrightarrow \ \det(A) \neq 0. \end{equation*}\]

Proof. Sei \(\Rang(A) = \dim \Bild(A) = \dim V\), dann wissen wir nach dem Satz über die Orthogonalität von Bild und Kern (siehe Satz 3.28 [Bur20]), dass der Kern von \(A^T\) trivial sein muss, d.h., \(\Kern(A^T) = \lbrace{\vec{0}\rbrace}\). Dies ist äquivalent dazu, dass die Matrix \(A^T\) regulär ist. Dann folgt schon mit der äquivalenten Bedingung aus [Bur20] Satz 3.41], dass die Determinante \(\det(A^T) = \det(A) \neq 0\) ist.

Lemma 1.2 (Determinanten-Regel von Sarrus)

Die Determinante \(\det(A)\) einer quadratischen \((3\times 3)\)-Matrix \(A \in \mathbb{K}^{3 \times 3}\) mit

\[\begin{equation*} A \ = \ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \end{equation*}\]

lässt sich mit der Regel von Sarrus wie folgt berechnen.

\[\begin{equation*} \det(A) \ = \ a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}. \end{equation*}\]

Proof. Siehe Theorem 3.2.5 (Leibnizformel) in [Fis05].

Das folgende Lemma erlaubt es uns die Determinante für Blockmatrizen besonders leicht auszurechnen und das Problem in einfachere Unterprobleme zu zerlegen.

Lemma 1.3 (Determinanten-Regel für Blockmatrizen)

Sei \(n \in \mathbb{N}\) mit \(n \geq 2\) und sei \(A \in \mathbb{K}^{n \times n}\) eine quadratische Blockmatrix von der Gestalt

\[\begin{equation*} A \ = \ \begin{pmatrix} A_1 & C \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}, \end{equation*}\]

wobei \(A_1\) und \(A_2\) quadratische Blöcke sind. Dann gilt für die Determinante der Blockmatrix \(A\):

\[\begin{equation*} \det(A) \ = \ \det(A_1) \cdot \det(A_2). \end{equation*}\]

Proof. Siehe Satz 3.1.3, D9 [Fis05].