1.1. Mathematische Grundlagen¶

Zur Entwicklung der Eigenwerttheorie betrachten wir in diesem Kapitel spezielle lineare Abbildungen $F \colon V \rightarrow V$ , den sogenannten Endomorphismen, die von einem Vektorraum $V$ wieder nach $V$ abbilden. Hierbei beschränken wir uns auf den endlich-dimensionalen Fall und nehmen im Folgenden immer an, dass $V$ ein $\mathbb{K}$ -Vektorraum über einem Körper $\mathbb{K}$ ist und eine endliche Dimension $\operatorname{dim}(V) = n, n \in \mathbb{N}$ , besitzt. Ein kanonisches Beispiel wäre der Vektorraum $V = \mathbb{R}^n$ . Es sei angemerkt, dass Eigenwerte auch für den Fall von unendlich-dimensionalen Vektorräumen untersucht werden können, zum Beispiel bei der Spektraltheorie in der Funktionanalysis. Wir wollen uns in dieser Vorlesung jedoch auf den einfacheren, endlich-dimensionalen Fall beschränken.

Wir beginnen mit einer kurzen Auffrischung der Beziehung einer darstellenden Matrix und einer allgemeinen linearen Abbildung zwischen zwei $\mathbb{K}$ -Vektorräumen. Wie wir wissen, besteht zwischen Matrizen aus $\mathbb{K}^{n\times m}$ und linearen Abbildungen $F : V \rightarrow W$ zwischen $n$ – bzw. $m$ –dimensionalen $\mathbb{K}$ –Vektorräumen $V$ und $W$ ein enger Zusammenhang. Ist $B = (b_1 , . . . , b_n)$ eine Basis von $V$ und $C = (c_1, . . . ,c_m)$ eine Basis von $W$ , dann ist die darstellende Matrix $M_C^B(F) \in \mathbb{K}^{n \times m}$ diejenige Matrix, bezüglich derer der Vektor $\sum_{i=1}^n v_i b_i \in V$ unter $F$ auf den Vektor $\sum_{j=1}^m w_j c_j \in W$ mit

$\begin{equation*} w_j \ = \ \sum_{i=1}^n (M_C^B(F))_{j,i} v_i \end{equation*}$

abgebildet wird. Die Matrix $M_C^B(F)$ drückt also aus, wie sich die lineare Abbildung auf Vektoren von $V$ bezüglich der gewählten Basen $B$ und $C$ verhält, so dass viele mathematische Sätze für lineare Abbildungen und Matrizen äquivalent formuliert werden können.

Besonders wichtig für die Eigenwerttheorie ist der folgende grundlegende Basiswechselsatz.

Theorem 1.1 (Basiswechselsatz)

Seien $V$ ein $n$ -dimensionaler $\mathbb{K}$ -Vektorraum mit $n \in \mathbb{N}$ und seien

$\begin{equation*} B \ \coloneqq \ (b_1, \ldots, b_n), \quad C \ \coloneqq \ (c_1, \ldots, c_n) \end{equation*}$

zwei Basen von $V$ . Sei nun $v \in V$ ein Vektor, der in den beiden Basen folgende Darstellungen hat

$\begin{equation*} v \ = \ \sum_{i=1}^n x_i b_i \ = \ \sum_{i=1}^n y_i c_i. \end{equation*}$

Die Koordinaten $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{K}^n$ und $(y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{K}^n$ sind eindeutig bestimmt und es existiert eine reguläre Matrix $T_C^B \in \GL(n; \mathbb{K})$ , genannt Transformationsmatrix, die einen Basiswechsel von $B$ nach $C$ wie folgt realisiert:

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \ = \ T_C^B \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{equation*}$

Außerdem lassen sich die Koordinaten des Vektors $v$ bezüglich der Basis $B$ aus den Koordinaten bezüglich der Basis $C$ unter zu Hilfenahme der inversen Transformationsmatrix $T_B^C = (T_C^B)^{-1}$ berechnen und es gilt

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \ = \ T_B^C \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \end{equation*}$

Proof. Siehe Bemerkung 2.6.2 und 2.6.3 in [Fis05].

Bevor wir uns dem eigentlich Studium von Eigenwerten und Eigenvektoren widmen, wollen wir noch einige grundlegende Begriffe aus der Linearen Algebra wiederholen, die aus [Bur20] bereits bekannt sein sollten. Hierbei handelt es sich um nützliche Begriffe und Eigenschaften von quadratische Matrizen als Repräsentanten von Endomorphismen, die ein Spezialfall von linearen Abbildungen zwischen $\mathbb{K}$ -Vektorräumen darstellen.

Definition 1.1 (Spur einer Matrix)

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ eine quadratische Matrix. Dann ist die Spur $\tr(A)$ von $A$ definiert als die Summe der Diagonaleinträge von $A$ , d.h.,

$\begin{equation*} \tr(A) \ \coloneqq \ \sum_{i=1}^n A_{i,i}. \end{equation*}$

Definition 1.2 (Kern einer Matrix)

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ eine quadratische Matrix. Dann ist der Kern $\Kern(A)$ von $A$ , auch Nullraum genannt, definiert als der Unterraum von $V$ , dessen Vektoren von $A$ auf den Nullvektor $\vec{0} \in V$ abgebildet werden, d.h.,

$\begin{equation*} \Kern(A) \ \coloneqq \ \lbrace{ v \in V \, | \, Av = 0 \rbrace}. \end{equation*}$

Der Kern von $A$ ist also gerade der Lösungsraum des homogenen, linearen Gleichungssystems $Av = 0$ .

Definition 1.3 (Bild und Rang einer Matrix)

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ eine quadratische Matrix.

Dann ist das mit $\Bild(A)$ bezeichnete Bild von $A$ , auch Bildraum genannt, definiert als der Unterraum von $V$ , auf den alle Vektoren $v \in V$ von $A$ abgebildet werden, d.h.,

$\begin{equation*} \Bild(A) \ \coloneqq \ \lbrace{ w \in V \, | \, Av = w, v \in V \rbrace}. \end{equation*}$

Weiterhin können wir den mit $\Rang(A)$ bezeichneten Rang von $A$ definieren als Dimension des Bildraums von $A$ , d.h., $\Rang(A) \coloneqq \dim \Bild(A)$ .

Folgende Lemmata werden uns nützlich sein in Bezug auf die Determinante $\det(A)$ einer quadratischen Matrix $A$ .

Lemma 1.1

Eine quadratische Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante ungleich Null ist, d.h.

$\begin{equation*} \Rang(A) = \dim V \ \Leftrightarrow \ \det(A) \neq 0. \end{equation*}$

Proof. Sei $\Rang(A) = \dim \Bild(A) = \dim V$ , dann wissen wir nach dem Satz über die Orthogonalität von Bild und Kern (siehe Satz 3.28 [Bur20]), dass der Kern von $A^T$ trivial sein muss, d.h., $\Kern(A^T) = \lbrace{\vec{0}\rbrace}$ . Dies ist äquivalent dazu, dass die Matrix $A^T$ regulär ist. Dann folgt schon mit der äquivalenten Bedingung aus [Bur20] Satz 3.41], dass die Determinante $\det(A^T) = \det(A) \neq 0$ ist.

Lemma 1.2 (Determinanten-Regel von Sarrus)

Die Determinante $\det(A)$ einer quadratischen $(3\times 3)$ -Matrix $A \in \mathbb{K}^{3 \times 3}$ mit

$\begin{equation*} A \ = \ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \end{equation*}$

lässt sich mit der Regel von Sarrus wie folgt berechnen.

$\begin{equation*} \det(A) \ = \ a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}. \end{equation*}$

Proof. Siehe Theorem 3.2.5 (Leibnizformel) in [Fis05].

Das folgende Lemma erlaubt es uns die Determinante für Blockmatrizen besonders leicht auszurechnen und das Problem in einfachere Unterprobleme zu zerlegen.

Lemma 1.3 (Determinanten-Regel für Blockmatrizen)

Sei $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 2$ und sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ eine quadratische Blockmatrix von der Gestalt

$\begin{equation*} A \ = \ \begin{pmatrix} A_1 & C \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}, \end{equation*}$

wobei $A_1$ und $A_2$ quadratische Blöcke sind. Dann gilt für die Determinante der Blockmatrix $A$ :

$\begin{equation*} \det(A) \ = \ \det(A_1) \cdot \det(A_2). \end{equation*}$

Proof. Siehe Satz 3.1.3, D9 [Fis05].

Mathematik für Data Science 2

1.1. Mathematische Grundlagen¶