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5.3. Differentialoperatoren höherer Ordnung

Analog zum eindimensionalen Fall kann man höhere Ableitungen definieren, d.h., wir wollen die Funktion \(f:U\rightarrow \R\) mehrmals ableiten. Induktiv bezeichnet man \(f\) als \((k+1)\)-mal differenzierbar, falls \(f\) \(k\)-mal differenzierbar ist und für eine beliebige Kombination von Richtungen \((i_1,\ldots,i_k)\) die Funktion \(\partial_{i_1}\ldots \partial_{i_k} f\) wieder partiell differenzierbar ist. Hierbei ist a priori nicht klar, dass die partiellen Ableitungen vertauschbar sind. Wir stellen uns also die Frage ob für eine zweimal partiell differenzierbare Funktion \(f\) die Gleichheit

(5.1)\[\partial_i\partial_j f(x) \ = \ \partial_j \partial_i f(x)\]

für alle \(i,j\in\{1,\ldots,n\}\) gilt.

In der Tat reicht die Eigenschaft zweimal partiell differenzierbar zu sein nicht für die Gleichheit in (5.1) aus, wie das folgende Beispiel zeigt.

Example 5.6 (Vertauschbarkeit partieller Ableitungen)

Wir betrachten die Funktion

\[\begin{align*} f(x,y) \ \coloneqq \ xy \cdot \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}. \end{align*}\]

Wie man nachrechnen kann ist die Funktion \(f\) in allen Punkten \((x,y) \in \R^2\) zweimal partiell differenzierbar. Wir berechnen die ersten partiellen Ableitungen

\[\begin{align*} \partial_x f(x,y) \ &= \ \frac{(3x^2y - y^3)(x^2+y^2) - (x^3y -xy^3)\cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} \ = \ y~\frac{x^4 + 4 x^2y^2-y^4}{(x^2 + y^2)^2},\\ \partial_y f(x,y) \ &= \ \frac{(x^3-3xy^2)(x^2+y^2) - (x^3y-xy^3)\cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} \ = \ x~\frac{x^4 - 4 x^2y^2-y^4}{(x^2 + y^2)^2}. \end{align*}\]

Wir betrachten nun die \textbf{zweiten} partiellen Ableitungen von \(f\) im Punkt \((x,y) = (0,0)\) mit

(5.2)\[\begin{equation}\label{eq:bsp_ableitungen_nicht_vertauschbar} \begin{split} \partial_y\partial_x f(0,0) \ &= \ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\partial_x f(0, h) - \partial_x f(0,0)}{h} \ = \ \lim_{h\rightarrow 0} ~ \frac{h}{h}~\frac{0 + 0-h^4}{(0 + h^2)^2} - 0 \ = \ -1,\\ \partial_x\partial_y f(0,0) \ &= \ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\partial_y f(h, 0) - \partial_y f(0,0)}{h} \ = \ \lim_{h\rightarrow 0} ~ \frac{h}{h}~\frac{h^4 - 0 - 0}{(h^2 + 0)^2} - 0 \ = \ +1. \end{split} \end{equation}\]

Wir erkennen, dass die Funktion \(f\) zwar zweimal partiell differenzierbar ist im Nullpunkt, jedoch ist die Reihenfolge der partiellen Ableitungen nicht vertauschbar.

5.3.1. Der Satz von Schwarz

Um eine Bedingung zu erarbeiten, die die Vertauschbarkeit von höheren partiellen Ableitungen versichert, fragt man sich zunächst weshalb die Funktion aus Example 5.6 diese Eigenschaft verletzt. Betrachtet man die zweiten partiellen Ableitungen \(\partial_i\partial_j f\) in Example 5.6 so fällt auf, dass diese nicht stetig im Punkt \((0,0)\) sind. Die Vermutung liegt also nahe, dass gerade die fehlende Stetigkeit die Vertauschbarkeit verhindert. Diese Vermutung lässt sich tatsächlich auch beweisen, was gemeinhin als der folgende Satz von Schwarz bekannt ist.

Theorem 5.1 (Satz von Schwarz)

Sei \(U \subset \R^n\) eine offene Teilmenge und \(f:U\rightarrow \R\) eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann gilt

\[\begin{align*} \partial_i \partial_j f \: = \: \partial_j \partial_i f \end{align*}\]

für alle Ableitungsrichtungen \(i,j\in\{1,\ldots,n\}\).

Proof. Wir können o.B.d.A. annehmen, dass \(U\subset\R^2\) eine offene Teilmenge ist. Wir betrachten einen beliebigen Punkt \((\bar x,\bar y)\in U\). Da \(U\) offen ist existiert ein \(\delta>0\), so dass ein Quadrat \(B^\infty_\delta\) mit Seitenlänge \(\delta\) noch in \(U\) liegt, d.h.,

\[\begin{align*} B^\infty_\delta(\bar x,\bar y) \ \coloneqq \ \{(x,y)\in\R^2: \abs{x-\bar x} < \delta \wedge \abs{y-\bar y} < \delta\} \ \subset \ U. \end{align*}\]

Für ein festes \(y\in (\bar y -\delta, \bar y + \delta)\) betrachten wir nun die eindimensionale Funktion

\[\begin{align*} R_y:[-\delta,\delta] \ &\rightarrow \ \R\\ x \ &\mapsto \ R_y(x) \ \coloneqq \ f(x+\bar x, y + \bar y) - f(x+\bar x, \bar y). \end{align*}\]

Wir bemerken zunächst, dass für \(y=0\) gilt

\[\begin{equation*} R_0(x) \ = \ f(x+\bar x, \bar y) - f(x+\bar x, \bar y) \ = \ 0, \quad \text{ für alle } x\in [-\delta, \delta]. \end{equation*}\]

Da \(R_y\) als Einschränkung von \(f\) in eine Koordinatenrichtung stetig ist können wir für ein beliebiges \(x\in[-\delta,\delta]\) mit Hilfe des Mittelwertsatzes \cite[Kapitel 6.2]{burger_2020} einen Punkt \(\xi_x\in[-\delta,\delta]\) finden mit \(\abs{\xi_x}\leq\abs{x}\), so dass

\[\begin{align*} R^\prime_y(\xi_x)\cdot x \ = \ R_y(x) - R_y(0). \end{align*}\]

Hierbei ist die Ableitung der Funktion \(R_y\) gegeben durch

\[\begin{align*} R^\prime_y(\xi_x) \ = \ \partial_1 R_y(\xi_x) \ = \ \partial_1 f (\xi_x + \bar x, y + \bar y) \, - \, \partial_1 f(\xi_x + \bar x, \bar y) . \end{align*}\]

Wir können nun basierend auf dem obigen Ausdruck erneut eine stetige eindimensionale Funktion \(r:[-\delta,\delta]\to\R\) definieren mit \(r(y) \coloneqq R^\prime_y(\xi_x)\). Auf diese Funktion wenden wir erneut den Mittelwertsatz an und finden analog für jedes beliebige \(y\in [-\delta,\delta]\) einen Punkt \(\eta_y\in [-\delta,\delta]\) mit \(\abs{\eta_y}\leq\abs{y}\), so dass

\[\begin{align*} r^\prime(\eta_y) \cdot y \ = \ r(y) - r(0). \end{align*}\]

Hierbei ist die Ableitung der Funktion \(r\) gegeben durch

\[\begin{align*} r^\prime(\eta_y) \ = \ \partial_2\partial_1 f(\xi_x + \bar x, \eta_y + \bar y). \end{align*}\]

Insgesamt erhalten wir für alle \((x,y)\in B^\infty_\delta(0,0)\) die folgende Identität

\[\begin{equation*} \begin{split} \partial_2\partial_1 f(\xi_x + \bar x, \eta_y + \bar y) \ &= \ r'(\eta_y) \ = \ \frac{r(y) - r(0)}{y} \ = \ \frac{R'_y(\xi_x) - R'_0(\xi_x)}{y}\\ \ &= \ \frac{\frac{R_y(x) - R_y(0)}{x} - \frac{R_0(x) - R_0(0)}{x}}{y} \ = \ \frac{R_y(x) - R_y(0)}{xy} \\ \ &= \ \frac{f(x+\bar x, y + \bar y) - f(x + \bar x, \bar y) - f(\bar x, y+\bar y) - f(\bar x, \bar y)}{xy}. \end{split} \end{equation*}\]

Insgesamt gilt also für alle \((x,y)\in B^\infty_\delta(0,0)\) die folgende Gleichung

(5.3)\[\begin{equation}\label{eq:schwarz_1} \partial_2\partial_1 f(\xi_x + \bar x, \eta_y + \bar y) \cdot xy \ = \ f(x+\bar x, y + \bar y) - f(x + \bar x, \bar y) - f(\bar x, y+\bar y) - f(\bar x, \bar y). \end{equation}\]

Mit vertauschten Rollen wenden wir die Argumente für ein festes \(x\in (\bar x -\delta, \bar x + \delta)\) analog auf die eindimensionale Funktion

\[\begin{align*} T_x \colon [-\delta,\delta]\ &\rightarrow \ \R\\ y \ &\mapsto\ T_x(y) \ \coloneqq \ f(x+\bar x, y + \bar y) - f(\bar x, y+\bar y) \end{align*}\]

an. Für \((x,y)\in B^\infty_\delta(0,0)\) liefert das jeweils Skalare \(\hat \xi_x, \hat \eta_y \in [-\delta, \delta]\) mit \(\abs{\hat \xi_x}\leq\abs{x}, \abs{\hat \eta_y}\leq\abs{y}\), so dass

\[\begin{equation*} \begin{split} \partial_1\partial_2 f(\hat \xi_x + \bar x, \hat \eta_y + \bar y) \cdot yx \ &= \ T_x(y) - T_x(0) \\ \ &= \ f(x+\bar x, y + \bar y) - f(x + \bar x, \bar y) - f(\bar x, y+\bar y) - f(\bar x, \bar y) . \end{split} \end{equation*}\]

Zusammen mit \eqref{eq:schwarz_1} können wir für \(xy\neq 0\) schlussfolgern, dass

\[\begin{equation*} (\partial_2\partial_1 f)(\xi_x + \bar x, \eta_y + \bar y) \ = \ (\partial_1\partial_2 f)(\hat\xi_x + \bar x, \hat\eta_y + \bar y). \end{equation*}\]

Es folgt nun der entscheidende Schritt. Wir betrachten im Folgenden eine Nullfolge \((x_n,y_n)_{n\in\N} \subset B^\infty_\delta(0,0)\) mit \((x_n,y_n)_{n\in\N} \rightarrow (0,0)\) und \(x_ny_n\neq 0\) für alle \(n\in\N\). Diese Folge induziert mit den obigen Argumenten zwei weitere Nullfolgen \((\xi_n,\eta_n)_{n\in\N}\) und \((\hat \xi_n, \hat\eta_n)_{n\in\N}\), so dass

\[\begin{equation*} (\partial_2\partial_1 f)(\xi_n + \bar x, \eta_n + \bar n) \ = \ (\partial_1\partial_2 f)(\hat\xi_n + \bar x, \hat\eta_n + \bar y). \end{equation*}\]

Um zu sehen, dass diese beiden Folgen wieder Nullfolgen sind nutzen wir die Beschränktheit der Folgeglieder aus, d.h., dass \(\abs{\xi_x}, \abs{\hat \xi_x}\leq\abs{x}\) und \(\abs{\eta_y}, \abs{\hat \eta_y}\leq\abs{y}\) gilt.

Schließlich benutzen wir die Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen und sehen damit ein, dass

\[\begin{align*} \partial_2\partial_1 f(\bar x, \bar y) \ &= \ \lim_{n\rightarrow \infty} \partial_2\partial_1 f (\xi_n + \bar x, \eta_n + \bar y)\\ &= \ \lim_{n\rightarrow \infty} \partial_1\partial_2 f(\hat \xi_n + \bar x, \hat \eta_n + \bar y) \ = \ \partial_1\partial_2 f(\bar x, \bar y). \end{align*}\]

Das folgende Korollar sagt aus, dass die Vertauschbarkeit nicht nur für zwei Ableitungsrichtungen gilt, sondern für eine beliebige Permutation von partiellen Ableitungen gegeben ist.

Corollary 5.1

Sei \(U\subset\R^n\) eine offene Teilmenge und \(f:U\rightarrow \R\) eine \(k\)-mal stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann gilt für jede bijektive Abbildung \(\pi:\{1,\ldots,k\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}\) (auch \emph{Permutation} genannt)

\[\begin{align*} \partial_{i_1}\ldots\partial_{i_k} f \ = \ \partial_{i_{\pi(1)}}\ldots\partial_{i_{\pi(k)}} f \end{align*}\]

für beliebige Indizes \(i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\).

Proof. In der Hausaufgabe zu zeigen.

Remark 5.3

  • Für mehrfache partielle Ableitung in die gleiche Koordinatenrichtung schreibt man häufig kurz

\[\begin{align*} \partial_i\partial_i f \ \eqqcolon \ \partial_i^2 f. \end{align*}\]

Dies lässt sich analog für höhere Ableitungen durch höhere Potenzen ausdrücken.

  • Insbesondere folgt aus dem Satz \ref{satz:schwarz} von Schwarz, dass für eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion \(f\) die folgende Beobachtung für die Rotation gilt

\[\begin{equation*} \rot\nabla f \: = \: 0. \end{equation*}\]

Dies folgt aus der Beobachtung, dass \(x\times x = 0\) gilt für alle \(x \in \R^3\) (vgl. Lemma \ref{lem:vektorprodukt}) und der Notation

\[\begin{align*} \rot \nabla f \: = \: \nabla\times\nabla f \: = \: 0. \end{align*}\]

Diese Erkenntnis wird im allgemeinen Sprachgebrauch häufig mit dem Ausspruch Gradientenfelder sind Rotationsfrei gemeint.

5.3.2. Die Hesse-Matrix

Analog zur zweiten Ableitung von Funktionen in einer Veränderlichen kann man für mehrdimensionale Funktionen einen Operator definieren, der alle zweiten Ableitungen sammelt - die sogenannte Hesse-Matrix.

Definition 5.4 (Hesse-Matrix)

Sei \(U \subset \R^n\) eine offene Teilmenge und \(f : U \rightarrow R\) eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann ist die Hesse-Matrix von \(f\) im Punkt \(x \in U\) definiert als

\[\begin{equation*} H_f(x) \ \coloneqq \ \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x) \right)_{1 \leq i,j \leq n} \ = \ \left( \partial_i\partial_j f (x) \right)_{1 \leq i,j \leq n} \ = \ \begin{pmatrix} \partial_1 \partial_1 f(x) & \cdots & \partial_1 \partial_n f(x)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_n \partial_1 f(x) & \cdots & \partial_n \partial_n f(x)\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}\]

Remark 5.4

Die Hesse-Matrix \(H_f\) einer zweimal stetig partiell differenzierbaren Funktion \(f\) ist symmetrisch, da die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauscht werden kann und somit gilt \(H_f = H_f^T\).

Wir wollen im folgenden Beispiel die Hesse-Matrix einer zweidimensionalen Funktion berechnen.

Example 5.7

Sei \(f \colon \R^2 \rightarrow \R\) eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion mit

\[\begin{equation*} f(x,y) \ \coloneqq \ x^2y - \sin(x). \end{equation*}\]

Um die Hesse-Matrix \(H_f\) von \(f\) zu berechnen geben wir zuerst die ersten partiellen Ableitungen von \(f\) an mit

\[\begin{equation*} \begin{split} \partial_x f(x,y) \ &= \ \partial_x (x^2y - \sin(x)) \ = \ 2xy - \cos(x),\\ \partial_y f(x,y) \ &= \ \partial_y (x^2y - \sin(x)) \ = \ x^2. \end{split} \end{equation*}\]

Nun betrachten wir die zweiten partiellen Ableitungen von \(f\) mit

\[\begin{equation*} \begin{split} \partial_x \partial_x f(x,y) \ &= \ \partial_x (2xy - \cos(x)) \ = \ 2y + \sin(x),\\ \partial_y \partial_x f(x,y) \ &= \ \partial_y (2xy - \cos(x)) \ = \ 2x,\\ \partial_x \partial_y f(x,y) \ &= \ \partial_x (x^2) \ = \ 2x,\\ \partial_y \partial_y f(x,y) \ &= \ \partial_y (x^2) \ = \ 0,\\ \end{split} \end{equation*}\]

Daraus ergibt sich für die Hesse-Matrix von \(f\) die folgende Gestalt:

\[\begin{equation*} H_f(x) \ = \ \begin{pmatrix} \partial_x \partial_x f(x,y) & \partial_x \partial_y f(x,y)\\ \partial_y \partial_x f(x,y) & \partial_y \partial_y f(x,y)\\ \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} 2x + \sin(x) & 2x\\ 2x & 0\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}\]

5.3.3. Der Laplace-Operator

Den letzten Operator den wir in diesem Abschnitt kennenlernen wollen ist der sogenannte Laplace-Operator.

Note

Der Operator ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace (1749-1827) benannt.

Definition 5.5 (Laplace-Operator)

Sei \(U\subset\R^n\) offen und \(f:U\rightarrow\R\) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, dann heißt

\[\begin{equation*} \Delta f(x) \ \coloneqq \ \dv \nabla f(x) \ = \ \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}(x) \ = \ \sum_{i=1}^n \partial_i^2 f(x). \end{equation*}\]

Laplace-Operator. Analog zu den vorherigen Überlegungen kann auch der Laplace-Operator als Differtialoperator geschrieben werden,

\[\begin{align*} \Delta f \ \eqqcolon \ \langle \nabla, \nabla f\rangle \ \eqqcolon \ \nabla^2 f. \end{align*}\]

Wir wollen den Laplace Operator für die Funktion aus Beispiel Example 5.7 im Folgenden berechnen.

Example 5.8

Sei \(f \colon \R^2 \rightarrow \R\) eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion mit

\[\begin{equation*} f(x,y) \ \coloneqq \ x^2y - \sin(x). \end{equation*}\]

Um den Laplace-Operator \(\Delta f\) von \(f\) zu berechnen geben wir zunächst die relevanten zweiten partiellen Ableitungen von \(f\) an mit

\[\begin{equation*} \begin{split} \partial^2_x f(x,y) \ &= \ \partial^2_x (x^2y - \sin(x)) \ = \ 2x + \sin(x),\\ \partial^2_y f(x,y) \ &= \ \partial^2_y (x^2y - \sin(x)) \ = \ 0. \end{split} \end{equation*}\]

Nun können wir den Laplace Operator \(\Delta f\) von \(f\) angeben als

\[\begin{equation*} \Delta f(x,y) \ \coloneqq \ \partial^2_x f(x,y) + \partial^2_y f(x,y) \ = \ 2x + \sin(x) + 0 \ = \ 2x + \sin(x). \end{equation*}\]

Remark 5.5

Der Laplace Operator \(\Delta f\) einer zweimal stetig partiell differenzierbaren Funktion \(f\) lässt sich ebenfalls als Spur der Hesse-Matrix \(H_f\) von \(f\) darstellen durch:

\[\begin{equation*} \Delta f(x) \ = \ \tr(H_f(x)). \end{equation*}\]