1. Eigenwerte¶
Bevor wir uns mathematisch mit dem Begriff der Eigenwerte eines Endomorphismus widmen, wollen wir motivieren warum wir uns damit beschäftigen. Eigenwerte und ihre zugehörigen Eigenvektoren sind eine wesentliche Eigenschaft linearer Abbildungen, die der Charakterisierung dieser Operatoren dienen und beschreiben, wie sie sich mathematisch verhalten. Anschaulich ausgedrückt wird ein Vektor Eigenvektor genannt, wenn seine Richtung sich nicht durch Anwendung der linearen Abbildung ändert. Er wird also höchstens um einen Faktor skaliert, d.h., verlängert oder verkürzt, und diesen Faktor nennt man Eigenwert. Die Eigenwerte einer Matrix (als Darstellung eines Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums) sind aus vielerlei Hinsicht interessant, wie die folgenden praktischen Beispiele illustrieren:
Eigenwerte einer Matrix legen fest, ob ein zugehöriges lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
Eigenwerte sagen etwas über die Kondition eines linearen Operators aus und sind wichtig für die Stabilität von Lösungsverfahren bei inversen Problemen.
Lösungen von Eigenwertproblemen beschreiben die Hauptspannungen eines Körpers in der Mechanik.
Eigenwerte sind messbare Größen von Operatoren in der Quantenmechanik.
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Kovarianzmatrix von gegebenen Daten beschreiben die Geometrie und Varianz der Daten im Raum und erlauben eine effektive Datenreduktion oder -kompression mittels der sogenannten Hauptkomponentenanalyse.
Eigenvektoren der sogenannten Google-Matrix eines Netzwerks bzw. Graphen sind wesentlich für die Berechnung des Google PageRanks, der die Wichtigkeit und Reihenfolge von Suchmaschinenergebnissen festlegt.
Eigenvektoren einer Adjazenzmatrix werden beim Spectral Clustering für die Segmentierung von Bildern eingesetzt.