1.2. Eigenwerte und Eigenvektoren

In diesem Abschnitt definieren wir den Begriff der Eigenwerte und Eigenvektoren für Endomorphismen F und deren darstellende Matrizen A:=MB(F) bezüglich einer Basis B von V.

Definition 1.4 (Eigenwert, Eigenvektor und Spektrum)

Sei F:V→V ein Endomorphismus von V. Ein Skalar λ∈K heißt Eigenwert von F, wenn ein sogenannter Eigenvektor v∈V,v≠0 existiert, so dass

(1.1)F(v)v = λv.

Die Menge aller Eigenwerte des Endomorphismus F nennt man das Spektrum von F.

Die in (1.1) gegebene Eigenwertgleichung lässt sich ebenso für darstellende Matrizen A∈Kn×n schreiben. In diesem Fall interessieren wir uns für Eigenwerte und Eigenvektoren, die folgende lineare Gleichung erfüllen

(1.2)Av = λv.

Definition 1.5 (Eigenraum)

Sei V ein K-Vektorraum und sei F:V→V ein Endomorphismus von V. Dann definieren wir den Eigenraum Eig(F;λ) zum Eigenwert λ∈K von F als lineare Hülle der Eigenvektoren zum Eigenwert λ, d.h.

Eig(F;λ) = Kern(F−λidV) = {v∈V|F(v)=λv,v≠→0}∪{→0}⊂V.

Analog können wir den Eigenraum Eig(A;λ) zum Eigenwert λ∈K einer quadratischen Matrix A∈Kn×n definieren als

Eig(A;λ) = Kern(A−λIn) = {v∈V|Av=λv,v≠→0}∪{→0}⊂V,

wobei In∈Kn×n die Einheitsmatrix bezeichnet.

Wir können einen Eigenwert mittels der Dimension seines zugehörigen Eigenraums noch näher charakterisieren.

Definition 1.6 (Geometrische Vielfachheit)

Wir bezeichnen mit der geometrischen Vielfachheit eines Eigenwerts λ∈K die Dimension des zugehörigen Eigenraums dimEig(F;λ) bzw.~dimEig(A;λ).

Remark 1.1

Wir bemerken, dass der Eigenraum Eig(F;λ)⊂V zum Eigenwert λ∈K von F ein F-invarianter Untervektorraum von V ist, da ja wegen der Eigenwertgleichung (1.1) gelten muss

F(v)=λv∈Eig(F;λ), für alle v∈Eig(F;λ).

Das bedeutet, dass wenn wir F auf Eig(F;λ) einschränken, so ist F|Eig(F;λ) ein Endormorphismus von Eig(F;λ) mit

F|Eig(F;λ):Eig(F;λ)→Eig(F;λ).