1.2. Eigenwerte und Eigenvektoren

In diesem Abschnitt definieren wir den Begriff der Eigenwerte und Eigenvektoren für Endomorphismen \(F\) und deren darstellende Matrizen \(A \coloneqq M_B(F)\) bezüglich einer Basis \(B\) von \(V\).

Definition 1.4 (Eigenwert, Eigenvektor und Spektrum)

Sei \(F \colon V \rightarrow V\) ein Endomorphismus von \(V\). Ein Skalar \(\lambda \in K\) heißt Eigenwert von \(F\), wenn ein sogenannter Eigenvektor \(v \in V, v \neq 0\) existiert, so dass

(1.1)\[F(v) \, v \ = \ \lambda \, v.\]

Die Menge aller Eigenwerte des Endomorphismus \(F\) nennt man das Spektrum von \(F\).

Die in (1.1) gegebene Eigenwertgleichung lässt sich ebenso für darstellende Matrizen \(A \in \mathbb{K}^{n\times n}\) schreiben. In diesem Fall interessieren wir uns für Eigenwerte und Eigenvektoren, die folgende lineare Gleichung erfüllen

(1.2)\[A \, v \ = \ \lambda \, v.\]

Definition 1.5 (Eigenraum)

Sei \(V\) ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum und sei \(F \colon V \rightarrow V\) ein Endomorphismus von \(V\). Dann definieren wir den Eigenraum \(\Eig(F; \lambda)\) zum Eigenwert \(\lambda \in \mathbb{K}\) von \(F\) als lineare Hülle der Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda\), d.h.

\[\begin{equation*} \Eig(F; \lambda) \ = \ \Kern(F - \lambda \operatorname{id}_V ) \ = \ \lbrace v \in V \: | \: F(v) = \lambda v, v \neq \vec{0} \rbrace \cup \lbrace{\vec{0}\rbrace} \subset V. \end{equation*}\]

Analog können wir den Eigenraum \(\Eig(A; \lambda)\) zum Eigenwert \(\lambda \in \mathbb{K}\) einer quadratischen Matrix \(A \in \mathbb{K}^{n \times n}\) definieren als

\[\begin{equation*} \Eig(A; \lambda) \ = \ \Kern(A - \lambda I_n ) \ = \ \lbrace v \in V \: | \: Av = \lambda v, v \neq \vec{0} \rbrace \cup \lbrace{\vec{0}\rbrace} \subset V, \end{equation*}\]

wobei \(I_n \in \mathbb{K}^{n \times n}\) die Einheitsmatrix bezeichnet.

Wir können einen Eigenwert mittels der Dimension seines zugehörigen Eigenraums noch näher charakterisieren.

Definition 1.6 (Geometrische Vielfachheit)

Wir bezeichnen mit der geometrischen Vielfachheit eines Eigenwerts \(\lambda \in \mathbb{K}\) die Dimension des zugehörigen Eigenraums \(\dim \Eig(F; \lambda)\) bzw.~\(\dim \Eig(A; \lambda)\).

Remark 1.1

Wir bemerken, dass der Eigenraum \(\Eig(F; \lambda) \subset V\) zum Eigenwert \(\lambda \in \mathbb{K}\) von \(F\) ein \(F\)-invarianter Untervektorraum von \(V\) ist, da ja wegen der Eigenwertgleichung (1.1) gelten muss

\[\begin{equation*} F(v) = \lambda v \in \Eig(F; \lambda), \quad \text{ für alle } v \in \Eig(F; \lambda). \end{equation*}\]

Das bedeutet, dass wenn wir \(F\) auf \(\Eig(F; \lambda)\) einschränken, so ist \(F|_{\Eig(F; \lambda)}\) ein Endormorphismus von \(\Eig(F; \lambda)\) mit

\[\begin{equation*} F|_{\Eig(F; \lambda)} \colon \Eig(F; \lambda) \rightarrow \Eig(F; \lambda). \end{equation*}\]