4.2. Substitutionsregel

Aus der Kettenregel in Satz Theorem 4.2 können wir ein wichtiges Werkzeug für die Integralrechnung ableiten, die sogenannte Substitutionsregel. Die Idee ist es eine neue Integrationsvariable so geschickt einzuführen, dass ein Teil des Integranden ersetzt wird um das Integral zu vereinfachen oder auf eine bekannte Form zurückzuführen.

Theorem 4.4 (Substitutionsregel)

Sei \(I \subset \R\) eine Teilmenge und \([a,b] \subset \R\) ein Intervall. Sei außerdem \(f\colon I\to \R\) eine integrierbare Funktion und \(g\colon [a,b] \to I\) eine stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt die folgende Substitutionsregel für die Integralrechnung:

(4.3)\[\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x \ = \ \int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\, \mathrm{d}y.\]

Proof. Sei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). Durch die Kettenregel für Differentiation in Satz \ref{satz:produktregel} wissen wir, dass

\[\begin{equation*} (F\circ g)^\prime(x) \ = \ F'(g(x)) \cdot g'(x) \ = \ f(g(x))\cdot g'(x). \end{equation*}\]

Damit können wir schreiben

\[\begin{equation*} \int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\,\mathrm{d}x \ = \ \int_a^b (F\circ g)'(x)\, \mathrm{d}x \ = \ (F\circ g)\,\Big\vert_a^b \ = \ F \, \Big\vert_{g(a)}^{g(b)} \ = \ \int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\, \mathrm{d}y. \end{equation*}\]

Remark 4.4

Die Substitutionsregel für die Integralrechnung in Satz \ref{satz:substitutionsregel} ist besonders dann einfach, wenn die Ableitung der inneren Funktion \(g(x)\) eine Konstante ist, d.h., \(g'(x) \equiv c \neq 0\). Wegen der Linearität des Integrals kann man diese dann Konstante herausziehen und vor die rechte Seite von \eqref{eq:substitutionsregel} schreiben und es ergibt sich damit folgender Zusammenhang:

\[\begin{equation*} \int_a^b f(g(x)) \,\mathrm{d}x \ = \ \frac{1}{c} \int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\, \mathrm{d}y. \end{equation*}\]

Das folgende Beispiel soll die Anwendung der Substitutionsregel für verschiedene Funktion mit unterschiedlichen Formen des Integrals illustrieren.

Example 4.3

Wir untersuchen drei Beispiele zur Anwendung der Substitutionsregel für die Integralrechnung mit aufsteigendem Schwierigkeitsgrad.

\(i)\) Sei \(c\in\R, c\neq 0\), ein Skalierungsfaktor und \(d\in\R\) eine Translationskonstante. Sei außerdem \(f\) eine beliebige integrierbare Funktion auf dem Intervall \([ca+d, cb+d] \subset \R\). Wir wollen das folgende Integral vereinfachen:

\[\begin{equation*} \int_a^b f(cx+d)\,\mathrm{d}x. \end{equation*}\]

Hierzu können wir eine einfache Substitution vornehmen:

\[\begin{equation*} y \ \coloneqq \ g(x) \ = \ cx + d \qquad \Rightarrow \qquad g'(x) \ \equiv \ c. \end{equation*}\]

Wir erkennen, dass die einfache Situation aus Bemerkung \ref{bem:substitution_einfach} vorliegt, bei der die innere Ableitung eine Konstante ergibt.

Für die Substitution des Differentials \(\mathrm{d}x\) berechnen wir:

\[\begin{equation*} c \, = \, g'(x) \, = \, \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \, = \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \qquad \Rightarrow \qquad \d x \, = \, \frac{1}{g'(x)}\,\d y \, = \, \frac{1}{c}\,\d y. \end{equation*}\]

Damit ergibt sich für das Integral einer Funktion unter einer linearen Transformation die folgende Rechenvorschrift:

\[\begin{equation*} \int_a^b f(cx+d)\,\mathrm{d}x \ = \ \int_a^b f(g(x))\,\mathrm{d}x \ = \ \int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\frac{1}{c}\,\d y \ = \ \frac{1}{c} \int_{ca+d}^{cb+d}f(y)\, \d y. \end{equation*}\]

\(ii)\) Wir nutzen die Substitutionsregel für die Berechnung des Integrals

\[\begin{equation*} \int_0^2 \cos(x^2 + 1)\cdot x\, \d x. \end{equation*}\]

Wir setzen \(f(x) \coloneqq \cos(x)\) und entscheiden uns für die folgende Substitution:

\[\begin{equation*} y \ \coloneqq \ g(x) \ = \ x^2 + 1 \qquad \Rightarrow \qquad g'(x) \ = \ 2x. \end{equation*}\]

Die innere Ableitung \(g'(x) = 2x\) ist leider keine Konstante, daher können wir sie nicht aus dem Integral herausziehen. Dennoch haben wir Glück, dass ein Vielfaches der Ableitung im Integranden vorkommt, nämlich der Faktor \(x\), und somit können wir die Substitutionsregel für die Integralrechnung aus Satz Theorem 4.4 anwenden.

Für die Substitution des Differentials \(\mathrm{d}x\) berechnen wir:

\[\begin{equation*} 2x \, = \, g'(x) \, = \, \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \, = \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \qquad \Rightarrow \qquad x\,\d x \, = \, \frac{1}{2}\,\d y. \end{equation*}\]

Damit ergibt sich für das Integral die folgende Rechenvorschrift:

\[\begin{equation*} \begin{split} \int_0^2 \cos(x^2 + 1)\cdot x\, \d x \ &= \ \int_0^2 f(g(x))\cdot x\, \d x \ = \ \int_{g(0)}^{g(2)} f(y) \cdot \frac{1}{2}\,\d y \ = \ \frac{1}{2} \int_1^5 \cos(y)\, \d y \\ &= \ \frac{1}{2} \sin(y)\Big\vert_1^5 \ = \ \frac{1}{2} (\sin(5) - \sin(1)) \ \approx \ -0.900. \end{split} \end{equation*}\]

\(iii)\) Zuletzt wollen wir das verbliebene Integral aus Beispiel \ref{bsp:partielle_integration} mit Hilfe der Substitutionsregel berechnen. Wir hatten hierzu bereits hergeleitet, dass gilt

\[\begin{equation*} \int_0^y\arcsin(x)\,\d x \ = \ y \cdot \arcsin(y) - \int_0^y \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, \d x. \end{equation*}\]

Wir setzen \(f(x) \coloneqq \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\) und entscheiden uns für die folgende Substitution:

\[\begin{equation*} z \ \coloneqq \ g(x) \ = \ x^2 \qquad \Rightarrow \qquad g'(x) \ = \ 2x. \end{equation*}\]

Die innere Ableitung \(g'(x) = 2x\) ist leider keine Konstante, daher können wir sie nicht aus dem Integral herausziehen. Dennoch haben wir Glück, dass ein Vielfaches der Ableitung im Integranden vorkommt, nämlich der Faktor \(x\), und somit können wir die Substitutionsregel für die Integralrechnung aus Satz \ref{satz:substitutionsregel} anwenden.

Für die Substitution des Differentials \(\mathrm{d}x\) berechnen wir:

\[\begin{equation*} 2x \, = \, g'(x) \, = \, \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \, = \, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} \qquad \Rightarrow \qquad x\,\d x \, = \, \frac{1}{2}\,\d z. \end{equation*}\]

Damit ergibt sich für das verbliebene Integral die folgende Rechenvorschrift:

\[\begin{equation*} \begin{split} \int_0^y \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, \d x \ &= \ \int_0^y f(g(x)) \cdot x\,\d x \ = \ \int_{g(0)}^{g(y)} f(z) \cdot \frac{1}{2}\, \d z \ = \ \frac{1}{2} \int_{0}^{y^2} \frac{1}{\sqrt{1-z}}\, \d z \\ \ &= \ \frac{1}{2} \cdot (-2\sqrt{1 - z} )\Big\vert^{y^2}_0 \ = \ -(\sqrt{1 - y^2} - \sqrt{1 - 0}) \ = \ 1 - \sqrt{1 - y^2}. \end{split} \end{equation*}\]

Insgesamt erhalten wir also für das Integral der Arkussinus Funktion in Beispiel Example 4.2:

\[\begin{equation*} \int_0^y\arcsin(x)\,\d x \ = \ y \cdot \arcsin(y) - 1 + \sqrt{1 - y^2}. \end{equation*}\]