3.1. Lineare Abbildungen

Wir können nun Abbildungen zwischen zwei Vetorräumen \(V_1\) und \(V_2\) betrachten, die einfachsten sind dabei die linearen, die auch eine wichtige Klasse bilden.

Definition 3.3

Wir bezeichnen eine Abbildung \(L: V_1 \rightarrow V_2\) als linear, wenn die Addition und Skalarmultiplikation unter \(L\) erhalten bleibt, d.h.

  • \(\forall v,w \in V_1: L(v+w) = L(v) + L(w).\)

  • \(\forall v \in V_1, \alpha \in \R: L(\alpha v) = \alpha L(v)\)

Wir sehen einfach durch einen induktiven Beweis, dass für alle \(n \in \N\), \(\lambda_i \in \R\) und \(v_i \in V_1\) dann gilt

\[ L(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i L(v_i) .\]

Daraus sehen wir auch, dass es genügt eine lineare Abbildung auf einer Basis \(B\) von \(V_1\) zu definieren, denn ein beliebiges \(v \in V_1\) können wir dann als \(v= \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i\) schreiben und daraus folgt

\[ L(v) = \sum_{i=1}^n \lambda_i L(b_i).\]

Sind umgekehrt \(L(b_i)\) festgelegt, erhalten wir daraus immer mit der obige Setzung eindeutig eine lineare Abbildung.

Example 3.9

\(L: \R \rightarrow \R\) erfüllt \(L(x) = x L(1)\) für alle \(x \in \R\), also ist die lineare Abbildung durch den Wert am einzigen Basiselement \(b_1=1\) festgelegt (diesen nennen wir Steigung).

Example 3.10

\(L: \R^2 \rightarrow \R, (x_1,x_2) \mapsto x_1 +x_2\) ist festgelegt durch \(L((1,0)) = 1\) und \(L((0,1))=1\).

Example 3.11

\(L: \R^2 \rightarrow \R^2, (x_1,x_2) \mapsto (2x_1-x_2,2x_2+x_1)\) ist festgelegt durch \(L((1,0)) = (2,1)\) und \(L((0,1))=(-1,2)\).

Wir sehen in den Beispielen, dass wir eine lineare Abbildung zwischen einem \(n\)-dimensionalen Vektorraum und einem \(m\)-dimensionalen Vektorraum durch \(nm\) reelle Zahlen festlegen können, indem wir die \(L(b_i)\), \(i=1,\ldots,n\) in einer Basis von \(V_2\) entwickeln.

Wir wollen nun die Injektivität und Surjektivität linearer Abbildungen genauer betrachten. Dies ist direkt verwandt mit der Eindeutigkeit und Lösbarkeit linearer Gleichungen: \(L(v) = w\) hat für jedes \(w\) eine Lösung \(v\), wenn \(L\) surjektiv ist. Die Lösung ist eindeutig, wenn \(L\) injektiv ist. Eine bijektive lineare Abbildung nennen wir Isomorphismus.

Lemma 3.2

Ein linearer Operator \(L\) ist injektiv genau dann, wenn aus \(L(v) = 0\) folgt \(v=0\).

Theorem 3.4

Sei dim\((V) =n\), dann existiert ein Isomorphismus von \(V\) nach \(\R^n\).

Proof. Wir definieren für die Basiselemente \(L(b_i) = e_i = (\delta_{ij})_{j=1,\ldots,n}\) und entsprechend

\[ L(v) = L(\sum_{i=1}^n \lambda_i b_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \R^n .\]

L ist injektiv, da aus \(L(v) = 0\) folgt \(\lambda_1=\ldots,\lambda_n = 0\) und damit \(v=0\). \(L\) ist surjektiv, da jedes

\[ (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \R^n \]

gleich \(L(v)\) mit \(v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i\) ist.

Damit können wir im Prinzip jeden endlichdimensionalen Vektorraum mit \(\R^n\) identifizieren, indem wir einfach die Koeffizienten in der Basisentwicklung betrachten.

Theorem 3.5

Sei \(L: V_1 \rightarrow V_2\) eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Dann gilt:

  • Ist \(L\) injektiv, so folgt dim\((V_2) \geq \) dim\((V_1)\).

  • Ist \(L\) surjektiv, so folgt dim\((V_2) \leq \) dim\((V_1)\).

Proof. Sei dim\((V_1)=n\) und \(\{b_i\}_{i=1,\ldots,n}\) eine Basis für \(V_1\). Man sieht sofort, dass \(\{L(b_i)\}_{i=1,\ldots,n}\) ein Erzeugendensystem für das Bild von \(L\) ist. Ist \(L\) surjektiv, dann wissen wir auch dim\((V_2) \leq n\) gilt. Ist \(L\) injektiv, dann folgt aus

\[ 0 = \sum_{i=1}^n \lambda_i L(b_i) = L( \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i)\]

auch\(\sum_{i=1}^n \lambda_i b_i = 0\) und damit \(\lambda_1=\ldots=\lambda_n = 0\) und damit ist \(\{L(b_i)\}_{i=1,\ldots,n}\) ein linear unabhängiges System. Daraus folgt dim\((V_2) \geq n\).

\begin{cor} Sei \(L: \R^n \rightarrow \R^m\). Ist \(m < n\), dann ist \(L\) nicht injektiv. Ist \(m> n\), dann ist \(L\) nicht surjektiv.\end{cor} Wir sehen dies auch in den obigen Beispielen von \(\R^2\) nach \(\R\) (nicht injektiv, aber surjektiv) bzw. von \(\R^2\) nach \(\R^2\) (bijektiv).

Eine lineare Abbildung von \(\R^n\) nach \(\R^m\) können wir durch eine Matrix \(A \in \R^{m \times n}\) darstellen, wir schreiben

\[\begin{split} A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} &\ldots& a_{1n} \\ a_{21} &\ldots &a_ {2n} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1} &\ldots& a_{mn} \end{array} \right)\end{split}\]

wobei

\[\begin{split} \left( \begin{array}{c} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi} \end{array} \right) = L(e_i)\end{split}\]

ist. An dieser Stelle müssen wir das erste Mal darauf achten, ob wir Zeilen- oder Spaltenvektoren schreiben.Ein Zeilenvektor ist dann eine Matrix in \(\R^{1 \times n}\), ein Spaltenvektor in \(\R^{m \times 1}\).Solange wir keine Matrizen verwenden ist die Unterscheidung unerheblich, aber etwa bei der Konstruktion von \(A\) oder bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor wird dies wichtig. Letztere können wir definieren, in dem wir wieder die Matrix \(A\) mit dem linearen Operator \(L\) identifizieren. Ist \(x\) ein Spaltenvektor, dann schreiben wir

\[\begin{split} A x := L(x) = \left( \begin{array}{c} \sum_{i=1}^n a_{1i} x_i \\ \sum_{i=1}^n a_{2i} x_i \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^n a_{mi} x_i \end{array} \right) .\end{split}\]

Damit berechnen wir also immer das Skalarprodukt einer Zeile von \(A\) (ein Zeilenvektor der Länge \(n\)) mit dem Vektor \(x\) (ein Spaltenvektor der Länge \(n\). Wir werden sehen, dass dies auch bei allgemeiner Matrixmultiplikation der Fall ist. Um diese zu definieren können wir einfach die Hintereinanderausführung linearer Operatoren betrachten. Sind \(L_1: \R^n \rightarrow \R^m\) und \(L_2: \R^m \rightarrow \R^k\) dargestellt durch Matrizen \(A \in \R^{m \times n}\) bzw. \(B \in \R^{k \times n}\), dann definieren wir das Matrixprodukt \(C = BA \in \R^{n \times k}\) als Darstellung der Abbildung \(x \mapsto L_2(L_1(x))\). Damit ist insbesondere

\[ C e_j = BAe_j = B (\sum_{k=1}^n a_{ik} \delta_{kj})_{i=1,\ldots,m} = B (a_{ij})_{i=1,\ldots,m} = (\sum_{p=1}^m b_{ip} a_{pj})_{i=1,\ldots,k}.\]

Insgesamt gilt dann

\[ C = BA = (\sum_{p=1}^m b_{ip} a_{pj})_{i=1,\ldots,k; j=1,\ldots,m} .\]