5.5. Trigonometrische Funktionen

Um die trigonometrischen Funktionen Sinus (\(\sin(x)\)) und Cosinus (\(\cos(x)\)) einfach zu analysieren, erweitern wir die Potenzreihe für die Exponentialfunktion auf die komplexen Zahlen

\[ e^z:= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} z^n, \qquad z \in \C.\]

Man sieht leicht, dass diese Reihe auch in ganz \(\C\) konvergiert. Verwendet man das Argument \(z=\i x\) mit \(x \in \R\), so rechnet man aus den Potenzreihen leicht die sogenannte Euler-Formel nach

\[ e^{\i x} = \cos(x) + \i \sin(x),\]

bzw. umgekehrt

\[ \cos(x) = \text{Re}(e^{\i x}), \qquad \sin(x) = \text{Im}(e^{\i x}).\]

Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion folgen dann auch die Summationstheoreme für Sinus und Cosinus

\[\begin{align*} e^{\i (x+y)} &= e^{\i x}e{\i y} = (\cos(x) + \i \sin(x)) (\cos(y) + \i \sin(y)) \\ &= \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y) + \i ( \cos(x) \sin(y) + \sin(y) \cos(x)). \end{align*}\]

Durch Vergleich der Real- und Imaginärteile erhält ma

\[ \cos(x+y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)\]

un

\[ \sin(x+y) = \cos(x) \sin(y) + \sin(y) \cos(x).\]

Wir sehen aus den Eigenschaften der Potentialreihen leicht, dass Cosinus bzw. Sinus symmetrisch bzw. antisymmetrisch sind, d.h.

\[ \cos(-x) = \cos(x) , \qquad \sin(-x) = -\sin(x) .\]

Verwenden wir dies im obigen Summationstheorem für den Cosinus für \(y=-x\), so erhalten wir

\[ 1 = \cos(0) = \cos(x)^2 + \sin(x)^2\]

für alle \(x \in \R\).

Nun wollen wir noch nachweisen, dass Sinus- und Cosinus periodische Funktionen sind.

Lemma 5.1

Es gibt ein \(\pi \in \R^+\) mit \(e^{\i \frac{\pi}2} = \i\) und \(e^{\i x} \neq \i\) für \(x \in [0,\pi)\).

Proof. Wir definieren

\[ \frac{\pi}2 = \inf\{x \in \R^+~|~e^{\i x } = \i \}.\]

Wir wissen \(\cos(0)=1 > 0\) und es gilt

\[ \cos(2)= 1 -2 + \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{2^{2k}}{(2k)!} \leq -1 + \sum_{k=2}^\infty \frac{2^{2k}}{(2k)!} .\]

Nun zeigt man induktiv leicht für \(k \geq 2\):

\[ (2k)! \geq 4^{2k-4} 4! ,\]

also

\[\begin{align*} \cos(2) &\leq -1 + \frac{4^4}{4!} \sum_{k=2}^\infty \frac{2^{2k}}{4^{2k}} \\ &= -1 + \frac{4^4}{4!} \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{4^{k}} \\ &= -1 + \frac{4 }{3!} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{4^{k}} \\ &= -1 + \frac{4}{6} \frac{1}{1-\frac{1}4} = -1 + \frac{16}{24} = - \frac{1}{3} < 0. \end{align*}\]

Nach dem Zwischenwertsatz existiert damit eine Nullstelle im Intervall \((0,2)\). Da

\[ \sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1\]

gilt, also ist für \(\cos(x) = 0\) automatisch \(\sin(x) \in \{\pm 1\}\).Ist \(\sin(x) = -1\), dann wäre \(e^{\i x} = -\i\) und damit \(e^{3\i x} = (-i)^2(-i) = i\). Also gibt es ein \(x\) mit \(e^{\i x} =\i\).

Wir sehen, dass aus \( e^{\i \pi/2 } = \i\) auch folgt:

\[ e^{\i pi} = -1, \quad e^{2 \i pi} = 1.\]

Damit erhalten wir auch

\[ e^{\i x + 2 \i \pi} = e^{\i x}e^{2 \i \pi} = e^{\i x},\]

für alle \(x \in \R\). Separat für den Real- und Imaginärteil aufgeschrieben heisst das\begin{align*} \cos(x+2\pi) &= \cos(x) \ \sin(x+2\pi) &= \sin(x).\end{align*} Analog erhalten wir übrigens auch die Eigenschaften

\[ \cos(x+ \pi) = -\cos(x) , \quad \sin(x+\pi) = - \sin(x), \quad \sin(x+\frac{\pi}2) = \cos(x).\]

Durch Quotienten könen wir auc

\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} , \qquad \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\]

definieren. Analog zu \(\sin\) und \(\cos\) definiert man die sogenannten hyperbolischen Funktionen

\[ \cosh(x) = \frac{1}2 (e^x+e^{-x}), \qquad \sinh(x) = \frac{1}2 (e^x-e^{-x}).\]

Hier gil

\[ \cosh(x)^2 - \sinh(x)^2 = 1,\]

wie man leicht nachrechnet.