6. Differentialrechnung

Im Folgenden wollen wir nun die Differentialrechnung betrachten, die auf einer lokal linearen Approximation von Funktionen basiert. Sei \(f: \R \rightarrow \R\) und \(x_0 \in \R\). Für \(\epsilon > 0\) betrachten wir eine lineare Approximation von \(f\), die an der Stelle \(x_0\) mit \(f\) übereinstimmt, d.h.

\[ f(x) \approx f(x_0) + a (x-x_0).\]

Dies bedeutet die richtige Steigung \(a \in \R\) is

\[ a \approx \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} .\]

Da wir an einer lokalen Approximation interessiert sind, ist es naheliegend den Grenzwert \(x \rightarrow x_0\) zu betrachten. Damit definieren wir die Ableitung an der Stelle \(x_0\):

Definition 6.1

Sei \(f: D \subset \R \rightarrow \R\) mit \(x_0 \in D\) Häufungspunkt von \(D\). Falls der Grenzwert

\[ f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\]

existiert, heisst \(f\) differenzierbar in \(x_0\) und \(f'(x_0)\) Ableitung (oder auch Differentialquotient \(f'(x) = \frac{dx}{dt}\), in der Physik auch \(\dot f(x)\)). Die Funktion \(f\) heisst differenzierbar in \(D\), wenn für alle \(x \in D\) die Ableitung \(f'(x)\) existiert. Ist \(f\) differenzierbar in \(D\) und \(f':D \rightarrow \R\) eine stetige Funktion, dann heisst \(f\) stetig differenzierbar in \(D\).

Üblicherweise betrachten wir Ableitungen auf offenen Mengen \(D\), dort ist jeder Punkt \(x_0 \in D\) ein Häufungspunkt von \(D\). Aus der Definition sehen wir sofort, dass wenn \(f\) differenzierbar in \(x_0\) ist, eine Darstellung

\[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +R(x)(x-x_0)\]

existiert mit einem sogenannten Restglied \(R(x)\), sodass \(R(x) \rightarrow 0 \) für \(x \rightarrow x_0\). Insbesondere sehen wir

\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0),\]

d.h. \(f\) ist stetig in \(x_0\).

Example 6.1

Eine lineare Funktion \(f: \R \rightarrow \R, x \mapsto a x + b\) ist differenzierbar in \(\R\) mit Ableitung \(f'(x) = a\).

Example 6.2

Ein Monom \(f: \R \rightarrow \R, x \mapsto x^m\), \(m \geq 1\) ist differenzierbar in \(\R\) mit Ableitung \(f'(x) = m x^{m-1}\). Dies sehen wir aus

\[ \frac{x^m - x_0^m}{x-x_0} = \sum_{j=0}^{m-1} x^j x_0^{m-1-j} .\]

Damit existiert der Grenzwert wegen \(x^j \rightarrow x_0^j\) für \(x \rightarrow x_0\).

Example 6.3

Die Exponentialfunktion \(f: \R \rightarrow \R, x \mapsto e^x\) ist differenzierbar in \(\R\) mit Ableitung \(f'(x) = e^x\), da

\[ \frac{e^x - e^{x_0}}{x-x_0} = e^{x_0} \frac{e^{x-x_0}-1}{x-x_0}\]

gilt und für \(h \in \R\)

\[ \frac{e^h - 1}h = h \sum_{j=2}^\infty \frac{1}{j!}h^{j-2} \leq h \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!}h^{j} = h e^h \rightarrow 0\]

für \(h \rightarrow 0\).