4.2. Konvergente Folgen¶
Mit Hilfe einer Metrik können wir Konvergenz von Folgen und ähnliche Begriffe definieren. Zunächst beginnen wir mit Umgebungen:
Definition 4.3
Sei \(X\) ein metrischer Raum und \(\epsilon \in \R_+\). Dann heisst
\(\epsilon\)-Umgebung von \(x\)
Definition 4.4
Sei \(X\) ein metrischer Raum und \(M \subset X\). \(M\) heisst offen, wenn für alle \(x \in M\) eine \(\epsilon\)-Umgebung \(U_\epsilon(x) \subset M\) existiert (wobei \(\epsilon\) von \(x\) abhängen kann). \(M\) heisst abgeschlossen, wenn \(X \setminus M\) offen ist.
Wir beachten, dass die leere Menge immer offen ist, damit ist \(X =X \setminus \emptyset\) abgeschlossen. Andererseits ist \(X\) natürlich auch offen, da ja alle \(\epsilon\)-Umgebungen per Definition Teilmengen von \(X\) sind. Damit ist auch wieder \(\emptyset = X \setminus X\) abgeschlossen. Die leere Menge und \(X\) sind aber die einzigen Mengen, die in \(X\) abgeschlossen und offen sind.
Example 4.2
Sei \(X=\R\) und \(a < b \in \R\), dann ist das Intervall \([a,b]\) abgeschlossen und das Intervall \((a,b)\) offen. Die Intervalle \([a,b)\) bzw. \((a,b]\) sind weder abgeschlossen noch offen.
Example 4.3
Sei \(X=\R^2\) mit der Euklidischen Norm, dann sind \(\epsilon\)-Umgebungen genau Kreisscheiben um \(x\) mit Radius \(\epsilon\), wobei der Kreis mit Radius \(\epsilon\) ausgenommen ist.
Konvergente und Cauchy-Folgen in metrischen Räumen können wir exakt wie in \(\R\) definieren, in dem wir einfach die spezielle Betragsmetrik durch eine allgemeine Metrik ersetzen:
Definition 4.5
Sei \(X\) ein metrischer Raum und \((x_n)\) eine Folge in \(X\). \((x_n)\) heißt konvergent mit Grenzwert \(\overline{x}\), wenn
\((x_n)\) heisst Cauchy-Folge, wenn
Wir sehen also, dass konvergente Folgen ab einem bestimmten Index in einer \(\epsilon\)-Umgebung um den Grenzwert liegen.
Es gilt folgendes einfach zu beweisende Resultat:
Lemma 4.1
Die Folge \((x_n)\) im metrischen Raum \((X,d)\) konvergiert genau dann gegen \(\overline{x}\), wenn \(d(x_n,\overline{x})\) eine Nullfolge in \(\R\) ist.
Genau wie in \(\R\) können wir auch leicht folgendes Resultat beweisen:
Theorem 4.2
Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist eine Cauchy-Folge.
Wir haben schon gesehen, dass nicht in jedem metrischen Raum die Umkehrung gilt (nicht alle Cauchy-Folgen konvergieren), z.B. in \(\Q\) mit der Betragsmetrik.
Definition 4.6
Ein metrischer Raum \((X,d)\) heisst vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in \(X\) konvergiert.
Wir kennen bereits ein Beispiel eines vollständigen Raums, nämlich \(\R\) mit der Betragsnorm. Dies gilt auch im \(\R^N\):
Theorem 4.3
Für \(N \in \N\) ist \(\R^N\) mit der durch die Euklidischen Norm definierten Metrik vollständig.
Proof. Ist \((x_n)\) eine Cauchy-Folge in \(\R^N\), so gilt für die Koordinatenfolge
die Ungleichung
Damit ist \((x_n^{i})\) eine Cauchy-Folge in \(\R\) und somit konvergent. Wir bezeichnen den Grenzwert mit \(\overline{x}^{(i)}\) und den Vektor \(\overline{x}=(\overline{x}^{(i)})_{i=1,\ldots,N}\).
Nun gibt es für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(n_0^{(i)} \in \N\), sodass für alle \( n \geq n_0^{i)}\) gilt:
Für \(n_0 = \max_{i=1,\ldots,N} n_0^{(i)}\) folgt.
Damit konvergiert \(x_n\) gegen \(\overline{x}\).
Mit ähnlichen Argumenten sehen wir, dass eine Folge \((x_n)\) im \(\R^N\) mit der Euklidischen Metrik genau dann konvergiert, wenn alle Koordinatenfolgen \((x_n^{i})\) in \(\R\) konvergieren. Mit den Eigenschaften für Grenzwerte in \(\R\) zeigen wir auch für konvergente Folgen \((x_n)\) und \((y_n)\) im \(\R^N\):