6.3. Höhere Ableitungen

In vielen Fällen kann man die Idee der Ableitung iterieren um höher Ableitungen zu erhalten. Ist \(f'\) wieder differenzierbar in einer Umgebung von \(x_0\) und existiert der Grenzwer

\[ f''(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f'(x) - f'(x_0)}{x-x_0} ,\]

so nennen wir \(f'' = (f')'\) die zweite Ableitung von \(f\). In dieser Form erhalten wir, falls diese existieren, auch \(k\)-te Ableitungen \(f^{(k)}=(f^{(k-1)})'\). Wir nennen \(f\) in diesem Fall \(k\)-mal differenzierbar, bzw. unendlich oft differenzierbar wenn die Ableitung für jedes \(k \in \N\) existiert. Der Vollständigkeit halber setzen wir \(f^{(0)} = f\).

Example 6.10

Sei \(f: \R \rightarrow \R, x \mapsto e^x.\) Dann ist \(f\) unendlich oft differenzierbar in \(\R\) und \(f^{(k)}(x)=f(x)\).

Example 6.11

Sei \(f: \R \rightarrow \R, x \mapsto x^2.\) Dann ist \(f\) unendlich oft differenzierbar in \(\R\) mit \(f'(x)=2x\), \(f''(x)=2\) und \(f^{(k)}(x)=0\) für \(k > 2\).

Eine interessante Anwendung sind wieder Minimal- und Maximalstellen:

Theorem 6.6

Sei \(f:[a,b]\rightarrow \R\) zweimal differenzierbar in einer Umgebung von \(x_0 \in (a,b)\). Dann gilt:

  • \(i)\) Ist \(x_0\) Minimalstelle (Maximalstelle) dann gilt \(f'(x_0) = 0\), \(f''(x_0) \geq 0\) (\(f''(x_0) \leq 0\))

  • \(ii)\) Ist \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\) (\(f''(x_0) < 0\)), dann ist \(x_0\) lokale Minimalstelle (lokale Maximalstelle), d.h. es gibt \(\epsilon > 0\) mit \(f(x) \leq f(x_0)\) (bzw. \(f(x) \geq f(x_0)\)) für alle \(x\in (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)\).

Proof. Wieder beweisen wir nur den Fall einer Minimalstelle, jener für Maximalstellen ist analog. \(i)\) Ist \(x_0\) Minimalstelle, dann wissen wir bereits \(f'(x_0) = 0\). Nun gilt für \(x > x_0\) nach dem Mittelwertsatz für ein \(\xi(x) \in (x_0,x)\)

\[ 0 \leq \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(\xi(x)).\]

Also folgt auch

\[ 0 \leq \frac{f'(\xi(x)) - f'(x_0)}{\xi(x)-x_0}.\]

Da \(\xi(x) \rightarrow \x_0\) für \(x \rightarrow x_0\) können wir den Grenzwert durchführen und erhalten \(f''(x_0) \geq 0\).

\(ii)\) Ist \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\), dann folgt analog für \(x > x_0\)

\[ f(x) - f(x_0) = (x-x_0) ( f'(x_0) + (f''(x_0) + R_2(\xi(x)))(\xi(x)-x_0)) = (f''(x_0) + R_2(\xi(x)))(\xi(x)-x_0)(x-x_0),\]

wobei \(R_2\) das Restglied bei der ersten Ableitung ist. Ist \(x-x_0\) klein genug, dann gilt \(|R_2(\xi(x))| < \frac{1}2 f''(x_0)\). Damit folg

\[ f(x) - f(x_0) > \frac{1}2 f''(x_0) (\xi(x)-x_0)(x-x_0) > 0,\]

also \(f(x) > f(x_0)\). Den Fall \(x < x_0\) behandeln wir analog. \(\square\)