5.4. Die Exponentialfunktion

Wir betrachten nun die Exponentialfunktion noch ein wenig näher, wir haben ja im letzten Kapitel schon die Identität

\[ e^x e^y = e^{x+y}\]

für alle \(x,y \in \R\) hergeleitet. Dazu sehen wir aus der Form der Potenzreihe, die nur positive Koeffizienten hat, dass \(e^x > 1\) für alle \(x > 0\) gilt. Daraus folgt natürlich aus

\[ e^{-x} = \frac{1}{e^x} > 0,\]

also \(e^y > 0\) für \(y < 0\). Also ist die Exponentialfunktion immer positiv. Aus diesen Eigenschaften folgern wir auch, dass die Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist. Für \(y > x\) gilt ja

\[ e^y = e^x e^{y-x} > e^x.\]

Nun können wir noch die Grenzwerte \(x \rightarrow \infty\) und \(x \rightarrow - \infty\) betrachten. Für \(x > 0\) gilt \( e^x > 1+x\), und die rechte Seite wächst monoton gegen \(\infty\). Also folgt \(\lim_{x \rightarrow \infty} e^x = \infty. \) Aus \(e^{-x} = \frac{1}{e^x} \) folgt dann sofort \(\lim_{x \rightarrow - \infty} e^x = 0. \) Nun weisen wir noch die Stetigkeit nach:

Theorem 5.9

Die Exponentialfunktion ist lokal Lipschitz stetig auf \(\R\) und damit insbesondere stetig.

Proof. Seien \(x < y \in \R\). Dann gil

\[ \left\vert e^y - e^x \right\vert = e^y - e^x = e^x ( e^{y-x} - 1).\]

Sei nun \(z=y-x \in (0,\epsilon)\), dann gilt

\[ \left\vert e^z - 1 \right\vert = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} z^n = z \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)!} z^n \leq z \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \epsilon^n = z e^\epsilon.\]

Also gilt für \(|x-y| < \epsilon\) auc

\[ \left\vert e^y - e^x \right\vert \leq e^{x+\epsilon} |y-x|,\]

d.h. die Exponentialfunktion ist lokal Lipschitz-stetig.

Nun haben wir gesehen, dass \(e^x: \R \rightarrow \R\) eine positive, stetige, streng monotone Funktion ist. Nach dem Zwischenwertsatz ist die Exponentialfunktion surjektiv nach \(\R^+\), da wir \(x\) mit \(e^x\) beliebig groß oder beliebig nahe bei \(0\) finden können. Damit wissen wir auch, dass die Exponentialfunktion eine stetige Inverse auf \(\R^+\) hat, die wir Logarithmus nennen

\[ \log: \R^+ \rightarrow \R, x \rightarrow \log(x),\]

wobei \(\log(e^x) =x\). Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion folgern wir

\[ \lim_{x\rightarrow \infty} \log(x) = \infty, \qquad \lim_{x\rightarrow 0_+} \log(x) = -\infty,\]

wobei \(\lim_{x\rightarrow 0_+}\) den rechtsseitigen Grenzwert bezeichnet.