7.3. Vertauschung von Integralen und Taylor-Formel

Oft integriert man eine Funktion mehrmals, d.h. man hat eigentlich ein weiteres Integral der Stammfunktion. Wir wollen hier eine Formel für die zweifache Integration herleiten. Sei \(F\) Stammfunktion von \(f\), dann gilt

\[ \int_a^b (F(x) - F(a))~dx = \int_a^b \int_a^x f(y)~dy~dx.\]

Intuitiv integrieren wir hier über das Dreieck \(0 \leq y \leq x \leq b\), also erwarten wir

\[ \int_a^b \int_a^x f(y)~dy = \int_a^b \int_y^b f(y)~dy = \int_a^b f(y) (b-y)~dy.\]

Um die Gleichheit nachzuweisen, können wir partielle Integration verwenden, mit der Stammfunktion \(F_a\) wie oben und \(g(x) = b-x\) erhalten wir, da \(g'(x)=-1\), \(F_a(a) = 0 \) und \(g(b) =0\),

\[ \int_a^b f(y) (b-y)~dy = - \int_a^b F_a(y) (-1)~dy = \int_a^b F_a(x)~dx = \int_a^b \int_a^x f(x)~dx .\]

Eine Anwendung ist die bessere Charakterisierung von Restgliedern bei der Differentialrechnung. Sei \(f\) eine in \([a,b]\) stetig differenzierbare Funktion, dann gilt für \(x,x_0 \in [a,b]\)

\[\begin{align*} f(x) - f(x_0) &= \int_{x_0}^x f'(y)~dy = \int_{x_0}^x (f'(x_0) + f'(y) -f'(x_0))~dy \\ &= f'(x_0) (x-x_0) + \int_{x_0}^x ( f'(y) -f'(x_0))~dy \\&= f'(x_0) (x-x_0) + \int_{x_0}^x \frac{y-x_0}{x-x_0} \frac{ f'(y) -f'(x_0))}{y-x_0}~dy (x-x_0) . \end{align*}\]

Also ist das Restglied

\[R(x) = \int_{x_0}^x \frac{y-x_0}{x-x_0} \frac{ f'(y) -f'(x_0))}{y-x_0}~dy .\]

Ist \(f\) zweimal stetig differenzierbar, dann können wir den Mittelwertsatz auf \(f'\) anwenden und erhalten

\[ R(x) = \int_{x_0}^x \frac{y-x_0}{x-x_0} f''(\xi(y))~dy,\]

damit auch

\[ |R(x)| \leq \int_{x_0}^x \frac{y-x_0}{x-x_0} \sup_{z \in (x_0,x)} |f''(z)|~dy = \sup_{z \in (x_0,x)} |f''(z)| ~ \frac{|x-x_0|}2.\]