5.2. Grenzwerte von Funktionen¶
Wir betrachten nun einige Grenzwerte von Funktionen. Dazu benötigen wir zunächst das Konzept des Häufungspunkts einer Menge. Wir nennen einen Punkt \(y \in M \subset X\) einer Teilmenge eines metrischen Raums \(X\) Häufungspunkt von \(N \subset M\), wenn eine Folge \(y_n\) in \(N\) existiert mit \(y= \lim y_n\). So ist etwa jedes \(y \in \R\) Häufungspunkt von \(\Q\). Man kann leicht zeigen, dass \(M\) genau dann abgeschlossen ist, wenn \(M\) alle seine Häufungspunkte enthält.
Definition 5.7
Sei \(f: X \rightarrow Y\) eine Funktion zwischen metrischen Räumen und \(x \in X\) Häufungspunkt der Menge \(M \subset X\). Dann hat die Funktion \(f: M \rightarrow Y\) in \(x \in X\) den Grenzwert \(y\), wenn für jede Folge \(x_n \rightarrow x\) gilt \(f(x_n) = y\).
Example 5.5
Sei \(f(x) =cx\) für \(M = \Q\). Dann ist für \(x \in \R\) und \(y=cx\) auch \(y\) ein Grenzwert von \(f\) bei \(x\).
Definition 5.8
Eine auf \(D \subset \R\) definierte Funktion besitzt den rechtsseitigen Grenzwert \(y\) bei \(x \in \R \cup \{-\infty\}\), wenn \(x\) Häufungspunkt von \(D_x^+=D \cup (x,\infty)\) ist und \(y\) Grenzwert von \(f\) in \(D_x^+\) ist. D.h. für alle Folgen \((x_n) \subset D_x^+\) mit \(x_n \rightarrow x\) gilt \(f(x_n) \rightarrow y\).Analog definiert man den linksseitigen Grenzwert bei \(x \in \R \cup \{+\infty\}\) mit \(D_x^-=D \cup (-\infty,x)\).
Example 5.6
Die Heaviside-Funktion hat in \(x=0\) den rechtsseitigen Grenzwert \(1\) und den linksseitigen Grenzwert \(0\).
Eine reelle Funktion ist stetig in \(x\) genau dann, wenn der rechts- und linksseite Grenzwert existieren und übereinstimmen.